Um indutor de 0,2 \mathrm{H} é ligado a uma fonte \mathrm{v}(\mathrm{t})=60 \operatorname{sen}(100 \mathrm{t}). Qual a corrente no indutor?
a) i(t)=3 \cos (100 t)
b) i(t)=-3 \cos (100 t)
c) i(t)=3 \operatorname{sen}(100 t)
d) i(t)=-3 \operatorname{sen}(100 t)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue.
  • Indutância: L=0,2\\ \mathrm{H}.
  • Tensão aplicada ao indutor: v(t)=60\sin(100t).
  • Pergunta: qual é a corrente i(t) no indutor? (fornecidas as alternativas)
    • a) i(t)=3\cos(100t)
    • b) i(t)=-3\cos(100t)
    • c) i(t)=3\sin(100t)
    • d) i(t)=-3\sin(100t)

Passo 2

Escrevemos a relação fundamental entre tensão no indutor e corrente: a tensão instantânea em um indutor é igual à indutância vezes a derivada da corrente. Ou seja,
v(t)=L\,\frac{di(t)}{dt}.
Aqui v(t) é a tensão em volts, L é a indutância em henries e i(t) é a corrente em amperes. Essa fórmula é a base para resolver o problema.

Passo 3

Isolamos a derivada de i(t) substituindo v(t) e L:
\frac{di(t)}{dt}=\frac{v(t)}{L}=\frac{60\sin(100t)}{0,2}.
Calculando o quociente numérico:
\frac{60}{0,2}= \frac{60}{0{,}2}=300,
portanto
\frac{di(t)}{dt}=300\sin(100t).

Passo 4

Integramos em relação a t para obter i(t). Lembre-se da regra de integração: \displaystyle \int \sin(at)\,dt=-\frac{1}{a}\cos(at)+C, onde a é constante e C é a constante de integração. Aplicando:
i(t)=\int 300\sin(100t)\,dt=300\left(-\frac{1}{100}\cos(100t)\right)+C.
Simplificando o fator:
i(t)=-3\cos(100t)+C,
onde C é uma constante arbitrária determinada pela condição inicial da corrente.

Passo 5

Interpretação física da constante C:
  • A solução geral é i(t)=-3\cos(100t)+C. O termo C representa um componente DC (constante) da corrente que depende da condição inicial i(0).
  • Em problemas de regime permanente (solução estacionária para uma fonte senoidal) normalmente assumimos que não há componente DC persistente ou que o circuito atingiu equilíbrio senoidal — nesse caso escolhemos C=0.
  • Além disso, as alternativas da questão não apresentam um termo constante C, então a resposta esperada é a solução particular com C=0.
Como verificação alternativa (mais conceitual): pelo método fasorial, a impedância do indutor é j\omega L com \omega=100; a amplitude da corrente é V_m/(\omega L)=60/(100\cdot 0,2)=3 e, por natureza do indutor, a corrente defasa em -\pi/2 (ou seja, é -3\cos(100t)). Isso confirma o resultado.

Passo 6

Comparando a solução com C=0,
i(t)=-3\cos(100t),
com as alternativas, corresponde à alternativa (b).

Resposta

b) i(t)=-3\cos(100t)

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