1. (Fatec) No lançamento de um dado, seja p_{k} a probabilidade de se obter o número \mathbf{k}, com: p_{1}=p_{3}=p_{5}=x \in p_{2}=p_{4}=p_{6}=y. Se, num único lançamento, a probabilidade de se obter um número menor ou igual a três é \frac{3}{5}, então x-y é igual a :
    A) \frac{1}{15}
    B) \frac{2}{15}
    C) \frac{1}{5}
    D) \frac{4}{15}
    E) \frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado trata de probabilidades em um dado viciado onde p_{1}=p_{3}=p_{5}=x e p_{2}=p_{4}=p_{6}=y.
Precisamos achar x - y usando (i) a normalização das probabilidades e (ii) a condição \displaystyle P(\text{número}\le3)=\tfrac{3}{5}ú.

Passo 2

Como a soma de todas as probabilidades deve ser 1, temos
3x + 3y = 1.
Logo,
x + y = \frac{1}{3}.

Passo 3

A probabilidade de obter um número menor ou igual a 3 é
P(\le3)=p_{1}+p_{2}+p_{3}=x + y + x=2x+y,
e o enunciado diz que isso vale \tfrac{3}{5}. Portanto,
2x + y = \frac{3}{5}.

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} x + y = \tfrac{1}{3},\\\\ 2x + y = \tfrac{3}{5}, \end{cases}
subtraímos a primeira equação da segunda:
(2x+y)-(x+y)=x=\frac{3}{5}-\frac{1}{3}=\frac{9-5}{15}=\frac{4}{15}.
Logo,
x = \frac{4}{15}, \quad y = \frac{1}{3}-x = \frac{5}{15}-\frac{4}{15} = \frac{1}{15}.

Passo 5

Finalmente,
x - y = \frac{4}{15} - \frac{1}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}.

Resposta

C) \displaystyle \frac{1}{5}

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