(Fatec) No lançamento de um dado, seja p_{k} a probabilidade de se obter o número \mathbf{k}, com: p_{1}=p_{3}=p_{5}=x \in p_{2}=p_{4}=p_{6}=y. Se, num único lançamento, a probabilidade de se obter um número menor ou igual a três é \frac{3}{5}, então x-y é igual a :
A) \frac{1}{15}
B) \frac{2}{15}
C) \frac{1}{5}
D) \frac{4}{15}
E) \frac{1}{3}
Passo 1
O enunciado trata de probabilidades em um dado viciado onde p_{1}=p_{3}=p_{5}=x e p_{2}=p_{4}=p_{6}=y.
Precisamos achar x - y usando (i) a normalização das probabilidades e (ii) a condição \displaystyle P(\text{número}\le3)=\tfrac{3}{5}.
Passo 2
Como a soma de todas as probabilidades deve ser 1, temos
3x + 3y = 1.
Logo,
x + y = \frac{1}{3}.
Passo 3
A probabilidade de obter um número menor ou igual a 3 é
P(\le3)=p_{1}+p_{2}+p_{3}=x + y + x=2x+y,
e o enunciado diz que isso vale \tfrac{3}{5}. Portanto,
2x + y = \frac{3}{5}.
Passo 4
Resolvendo o sistema
\begin{cases} x + y = \tfrac{1}{3},\\\\ 2x + y = \tfrac{3}{5}, \end{cases}