Em um torneio de tênis, cada jogador foi escalado para jogar contra cada um dos outros jogadores uma única vez. Entretanto, durante o evento, três jogadores desistiram do torneio. Sabemos que cada um dos desistentes jogou duas partidas. Se o torneio teve exatamente 50 jogos, quantos jogadores começaram o torneio?
Passo 1
O enunciado diz que havia
jogadores escalados para um torneio todos contra todos (cada par de jogadores joga uma única vez). Durante o evento, três jogadores desistiram, e cada um desses desistentes havia jogado exatamente duas partidas antes de sair. No total foram realizados exatamente 50 jogos.
O conteúdo aqui é contagem de partidas em um torneio incompleto, usando combinatória em grafos completos e ajuste pelo abandono de três vértices.
O conteúdo aqui é contagem de partidas em um torneio incompleto, usando combinatória em grafos completos e ajuste pelo abandono de três vértices.
Passo 2
Se ninguém tivesse desistido, o número total de jogos seria
Como três jogadores (conjunto
,
) desistiram, restaram
jogadores que completaram todas as partidas entre si, totalizando
jogos realizados exclusivamente entre os não desistentes.
Passo 3
Além dos jogos entre não desistentes, houve partidas:
- entre os três desistentes, digamos que se jogaram
desses possíveis jogos, - e entre desistentes e não desistentes, digamos que se jogaram
partidas.
Cada desistente fez exatamente 2 jogos, logo a soma dos graus no grafo induzido poré . Como cada jogo entre dois desistentes conta duas vezes nessa soma e cada jogo entre um desistente e um não-desistente conta uma vez, vale
Passo 4
O total de jogos efetivamente realizados é
Substituindo
e
, temos
Como
pode ser
ou
, testamos:
- Se
, fica , ou seja ⇒ ⇒ .
Os outros valores denão geram inteiro para .
Passo 5
O único valor inteiro que satisfaz as condições é
.