Em um torneio de tênis, cada jogador foi escalado para jogar contra cada um dos outros jogadores uma única vez. Entretanto, durante o evento, três jogadores desistiram do torneio. Sabemos que cada um dos desistentes jogou duas partidas. Se o torneio teve exatamente 50 jogos, quantos jogadores começaram o torneio?

Passo 1

O enunciado diz que havia N jogadores escalados para um torneio todos contra todos (cada par de jogadores joga uma única vez). Durante o evento, três jogadores desistiram, e cada um desses desistentes havia jogado exatamente duas partidas antes de sair. No total foram realizados exatamente 50 jogos.
O conteúdo aqui é contagem de partidas em um torneio incompleto, usando combinatória em grafos completos e ajuste pelo abandono de três vértices.

Passo 2

Se ninguém tivesse desistido, o número total de jogos seria
\binom{N}{2} = \frac{N(N-1)}{2}.
Como três jogadores (conjunto W, \lvert W\rvert=3) desistiram, restaram R=N-3 jogadores que completaram todas as partidas entre si, totalizando
\binom{R}{2}
jogos realizados exclusivamente entre os não desistentes.

Passo 3

Além dos jogos entre não desistentes, houve partidas:
  • entre os três desistentes, digamos que se jogaram x desses \binom{3}{2}=3 possíveis jogos,
  • e entre desistentes e não desistentes, digamos que se jogaram y partidas.
    Cada desistente fez exatamente 2 jogos, logo a soma dos graus no grafo induzido por W é 3\cdot2=6. Como cada jogo entre dois desistentes conta duas vezes nessa soma e cada jogo entre um desistente e um não-desistente conta uma vez, vale
2x + y = 6 \quad\Longrightarrow\quad y = 6 - 2x.

Passo 4

O total de jogos efetivamente realizados é
\binom{R}{2} + x + y = 50.
Substituindo R=N-3 e y=6-2x, temos
\binom{N-3}{2} + x + (6-2x) = 50 \quad\Longrightarrow\quad \binom{N-3}{2} + 6 - x = 50 \quad\Longrightarrow\quad \binom{N-3}{2} = 44 + x.
Como x pode ser 0,1,2 ou 3, testamos:
  • Se x=1, fica \binom{N-3}{2}=45, ou seja (N-3)(N-4)/2=45 N-3=10 N=13.
    Os outros valores de x não geram inteiro para N-3.

Passo 5

O único valor inteiro que satisfaz as condições é N=13.

Resposta

13

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