(FATEC-SP) Um termômetro de mercúrio foi calibrado de tal modo que a temperatura de 0^{\circ} \mathrm{C} correspondesse a 4 cm de altura da coluna de mercúrio; a temperatura de 100^{\circ} \mathrm{C} correspondesse a 8 cm de altura da coluna de mercúrio. A função termométrica que relaciona a temperatura \theta ( \mathrm{em}^{\circ} \mathrm{C} ) e a altura h(\mathrm{em} \mathrm{cm}) é:
a) \theta=25 \mathrm{~h}-4
b) \theta=100(\mathrm{~h}-4)
c) \theta=25(\mathrm{~h}-1)
d) \theta=25(\mathrm{~h}-4)
e) \theta=4(25-\mathrm{h})

Passo 1

O enunciado dá duas informações relacionando temperatura \theta (em ^\circ\mathrm{C}) e altura h (em cm) da coluna de mercúrio:
  • Para \theta=0^\circ\mathrm{C}, tem h=4 cm.
  • Para \theta=100^\circ\mathrm{C}, tem h=8 cm.
O que a questão pede: encontrar a função termométrica que relaciona \theta e h e escolher a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Hipótese natural (não complicada): a relação é linear (uma reta) porque dois pontos determinam uma reta. Então escrevo a forma geral de uma função linear entre \theta e h:
\theta = a\,h + b,
onde a é a taxa de variação (quantos graus mudam por cm) e b é o termo independente (temperatura quando h=0). Vou encontrar a e b usando os dois pares (h,\theta) fornecidos: (4,0) e (8,100).

Passo 3

Cálculo da inclinação a (a fórmula da taxa entre dois pontos):
a = \frac{\theta_2-\theta_1}{h_2-h_1}.
Substituindo os valores:
a = \frac{100-0}{8-4} = \frac{100}{4} = 25.
Interpretação: cada aumento de 1 cm em h corresponde a um aumento de 25^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Agora encontro b usando um dos pontos (uso (h_1,\theta_1)=(4,0)):
0 = a\cdot 4 + b \quad\Rightarrow\quad 0 = 25\cdot 4 + b.
Como 25\cdot 4 = 100, obtemos
b = -100.
Portanto a função é
\theta = 25\,h - 100.

Passo 5

Posso escrever a função de forma fatorada para ficar mais bonita:
\theta = 25(h-4).
Verificação rápida: para h=4 \theta=0; para h=8 \theta=25\times4=100. Certo.

Passo 6

Comparando com as alternativas:
  • (a) \theta=25h-4 é diferente (termo independente incorreto).
  • (b) \theta=100(h-4) corresponde a coeficiente 100, errado.
  • (c) \theta=25(h-1) corresponde a \theta=25h-25, errado.
  • (d) \theta=25(h-4) é exatamente a nossa função.
  • (e) \theta=4(25-h) é \theta=100-4h, errado.

Resposta

d) \theta=25(h-4)

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