O fator de segurança F S de um talude infinito pode ser obtido resolvendo a seguinte equação não linear:
f(F S)=F S-\frac{c+\left(\gamma z \cos ^{2} \theta-u\right) \operatorname{tg}(\varphi(F S))}{\gamma z \operatorname{sen} \theta \cos \theta}=0
em que o ângulo de atrito interno depende do fator de segurança segundo:
\varphi(F S)=\phi_{0}-k(F S-1)
sendo todas as demais grandezas conhecidas e positivas.
(a) Utilize o Teorema de Bolzano para mostrar que existe pelo menos uma solução para F S no intervalo [1,0,2,0].
(b) Aplique o método da bisseção para obter uma aproximação do fator de segurança com erro inferior a 10^{-3}.
(c) Discuta as vantagens do método da bisseção em análises de estabilidade de taludes quando comparado a métodos iterativos mais rápidos, como o método do ponto fixo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Função a ser resolvida (toda em símbolos que vieram no enunciado):
f(FS)=FS-\frac{c+\bigl(\gamma z \cos^{2}\theta-u\bigr)\tan\bigl(\varphi(FS)\bigr)}{\gamma z \sin\theta\cos\theta}=0.
  • Dependência do ângulo de atrito com o fator de segurança:
\varphi(FS)=\phi_{0}-k(FS-1).
  • As demais grandezas c,\gamma,z,\theta,u,\phi_{0},k são todas conhecidas e positivas (isto é, positivas em valor numérico).
  • Intervalo onde queremos a solução: [1{,}0,\,2{,}0] — ou seja, [1,2].
O enunciado pede três coisas:
(a) Usar o Teorema de Bolzano (Teorema do Valor Intermediário) para mostrar que existe pelo menos uma solução FS em [1,2].
(b) Aplicar o método da bisseção para obter uma aproximação de FS com erro inferior a 10^{-3}.
(c) Discutir as vantagens do método da bisseção em problemas de estabilidade de taludes vs. métodos iterativos mais rápidos, como ponto fixo.

Passo 2

Primeira aula rápida e necessária: continuidade e o Teorema de Bolzano.
  • O Teorema de Bolzano (ou Valor Intermediário) diz: se uma função g é contínua num intervalo [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos (ou um deles é zero), então existe pelo menos um x\in[a,b] tal que g(x)=0.
  • Portanto, para aplicá-lo precisamos:
    1. Mostrar que f(FS) é contínua em [1,2].
    2. Mostrar que f(1)\cdot f(2)\le 0 (idealmente <0 para garantir sinal oposto, ou um dos valores ser zero já dá solução).
  • Verificação de continuidade (passo a passo didático):
    • \varphi(FS)=\phi_{0}-k(FS-1) é uma função linear em FS, logo contínua.
    • \tan(\varphi) é contínua para valores de \varphi que não atinjam \pm\pi/2. Em prática geotécnica \varphi é um ângulo de atrito interno tipicamente entre 0 e 45^\circ, logo bem longe de \pm\pi/2; com os parâmetros dados assumimos essa condição satisfeita. Portanto \tan(\varphi(FS)) é contínua em FS\in[1,2].
    • A combinação de operações (soma, produto, quociente por quantidade não nula) preserva continuidade — e o denominador \gamma z \sin\theta\cos\theta é estritamente positivo porque \gamma,z>0 e, para um talude, usualmente 0<\theta<\pi/2 de modo que \sin\theta\cos\theta>0. Portanto o quociente é contínuo.
    • Assim f(FS) é contínua em [1,2].
Concluímos: condição (1) para aplicar Bolzano está satisfeita (continuidade).

Passo 3

Agora vamos analisar os sinais em FS=1 e FS=2 — isto é, calcular f(1) e f(2) em forma explícita e interpretar.
  • Avaliando em FS=1:
\varphi(1)=\phi_{0}-k(1-1)=\phi_{0},
logo
f(1)=1-\frac{c+\bigl(\gamma z\cos^{2}\theta-u\bigr)\tan(\phi_{0})}{\gamma z\sin\theta\cos\theta}.
  • Avaliando em FS=2:
\varphi(2)=\phi_{0}-k(2-1)=\phi_{0}-k,
logo
f(2)=2-\frac{c+\bigl(\gamma z\cos^{2}\theta-u\bigr)\tan(\phi_{0}-k)}{\gamma z\sin\theta\cos\theta}.
Explicação didática do que essas expressões significam, sem pular etapas:
  • O segundo termo que subtrai de FS em f(FS) é, fisicamente, a estimativa da razão entre resistência disponível (termo com c e \tan\varphi) e a componente de esforço que tende a provocar o deslizamento ( \gamma z \sin\theta\cos\theta). Esse quociente é sempre positivo porque numerador e denominador são positivos (pela hipótese do enunciado).
  • Observe que \tan(\phi_{0}-k)<\tan(\phi_{0}) porque \tan é crescente para ângulos na faixa usual e \phi_{0}-k<\phi_{0}. Portanto o valor do quociente no caso FS=2 é menor ou igual ao do caso FS=1; simbolicamente:
\frac{c+\bigl(\gamma z\cos^{2}\theta-u\bigr)\tan(\phi_{0}-k)}{\gamma z\sin\theta\cos\theta} \le \frac{c+\bigl(\gamma z\cos^{2}\theta-u\bigr)\tan(\phi_{0})}{\gamma z\sin\theta\cos\theta}.
  • Consequência: os valores subtraídos de 1 e de 2 em f(1) e f(2) obedecem a uma ordem que ajuda a conseguir sinais opostos (ou, no mínimo, a mostrar que f cresce): intuitivamente, o termo subtraído é maior em FS=1 do que em FS=2; ao mesmo tempo FS passa de 1 para 2. Isso tende a fazer f(1) menor que f(2).

Passo 4

Introdução ao conceito de monotonicidade e cálculo da derivada — isto ajuda a garantir unicidade e a entender o comportamento de f.
  • Calculemos a derivada f'(FS) (explico cada passo):
    • Denote A=\gamma z\cos^{2}\theta e D=\gamma z\sin\theta\cos\theta para simplificar a escrita (ambos >0).
    • O termo dependente de FS é S(FS)=\dfrac{c+(A-u)\tan(\varphi(FS))}{D}.
    • \varphi'(FS)=-k (derivada da função linear).
    • \dfrac{d}{dFS}\tan(\varphi(FS))=\operatorname{sec}^{2}(\varphi(FS))\cdot\varphi'(FS)=-k\operatorname{sec}^{2}(\varphi(FS)).
    • Assim
    S'(FS)=\frac{(A-u)\cdot(-k)\operatorname{sec}^{2}(\varphi(FS))}{D}=-\frac{(A-u)k\operatorname{sec}^{2}(\varphi(FS))}{D}.
    • Finalmente
    f'(FS)=1-S'(FS)=1+\frac{(A-u)k\operatorname{sec}^{2}(\varphi(FS))}{D}.
  • Interpretação: se A-u=\gamma z\cos^{2}\theta-u>0 (isto é, se a contribuição \gamma z\cos^{2}\theta é maior que a pressão de poros u, condição fisicamente razoável em muitos casos), então (A-u)k\operatorname{sec}^{2}(\varphi(FS))/D>0 e, portanto, f'(FS)>1. Logo f é estritamente crescente em [1,2] (na verdade em qualquer intervalo onde essa condição valha).
  • Consequência prática: se f é contínua e estritamente crescente, então f(1)\le 0\le f(2) ou f(1)\ge 0\ge f(2) implicaria existência (e unicidade) da raiz; além disso, se f(1)=0 ou f(2)=0 já temos a solução nos extremos.

Passo 5

Aplicando o Teorema de Bolzano (conclusão para (a)) — montagem do argumento final, escrito de forma didática e clara.
  • Recapitulando as peças já obtidas:
    1. f é contínua em [1,2].
    2. Para parâmetros geotecnicamente usuais (em particular, assumindo \gamma z\cos^{2}\theta>u, o que torna física a interpretação), f é estritamente crescente em [1,2].
    3. O valor subtraído em f(1) é tipicamente maior do que o subtraído em f(2), enquanto a parte FS aumenta de 1 para 2. Por isso é natural (e normalmente verificado em análises de taludes) ter f(1)\le 0 e f(2)\ge 0. Se uma dessas igualdades for exata, já está provada a existência (a raiz fica num extremo). Caso contrário, com sinais opostos, Bolzano garante pelo menos uma raiz em [1,2].
  • Portanto, usando Bolzano: como f é contínua e (na prática) f(1)\cdot f(2)\le 0 (caso de igualdade trivial ou, mais comum, sinal oposto), existe pelo menos um FS\in[1,2] tal que f(FS)=0.
  • Observação empática: se ao aplicar a expressão com os números reais fornecidos na sua análise de talude você encontrar f(1) e f(2) com o mesmo sinal, isso significa que a raiz NÃO está no intervalo [1,2] — nesse caso é necessário ampliar o intervalo até encontrar um par de extremos com sinais opostos. É fácil verificar numericamente isso com uma calculadora: avalie f(1) e f(2) e verifique os sinais.

Passo 6

Aplicando o método da bisseção (parte b) — algoritmo, critério de parada e número de iterações necessário para erro <10^{-3}.
  • Lembrete do método (passo a passo prático):
    1. Partir do intervalo inicial [a_{0},b_{0}]=[1,2] em que se sabe (ou assume) que existe uma raiz (ou que f(a_{0})\cdot f(b_{0})<0).
    2. Calcular o ponto médio m_{n}=(a_{n}+b_{n})/2.
    3. Avaliar f(m_{n}). Se f(m_{n})=0 (ou |f(m_{n})| menor que tolerância na função) pare; caso contrário, escolha o subintervalo [a_{n},m_{n}] ou [m_{n},b_{n}] em que ocorra a troca de sinal (ou seja, onde f muda de sinal), e repita.
    4. Depois de n iterações o comprimento do intervalo é (b_{0}-a_{0})/2^{n} e qualquer ponto do intervalo está a no máximo essa distância da raiz.
  • Cálculo do número de iterações necessário para erro na raiz (erro em x, não em f):
    • Queremos \dfrac{b_{0}-a_{0}}{2^{n}}\le 10^{-3}.
    • Aqui b_{0}-a_{0}=2-1=1. Logo precisamos de
    \frac{1}{2^{n}}\le 10^{-3}\quad\Rightarrow\quad 2^{n}\ge 10^{3}.
    • Tomando logaritmo em base 2:
    n\ge \log_{2}(10^{3})=\log_{2}(1000)\approx 9{,}966.
    • Portanto \displaystyle n=\left\lceil 9{,}966\right\rceil=10 iterações garantem que o erro em FS (distância do centro do intervalo final para a raiz) seja menor que 10^{-3}.
  • Conclusão prática para (b):
    • Basta aplicar o procedimento de bisseção por, no máximo, 10 iterações partindo de [1,2]. O resultado da bisseção após 10 iterações fornece uma aproximação \widetilde{FS} tal que
    |\,\widetilde{FS}-FS^{*}\,|\le 10^{-3},
    onde FS^{*} é a raiz verdadeira dentro de [1,2].
    • Observação: sem valores numéricos de c,\gamma,z,\theta,u,\phi_{0},k não é possível apresentar aqui um número decimal final para \widetilde{FS}. Se você me passar esses parâmetros, eu executo as 10 iterações e devolvo o valor numérico final.

Passo 7

Vou mostrar explicitamente as primeiras iterações em forma algorítmica para você saber exatamente o que calcular na prova (mesmo sem dados numéricos):
  • Iteração 0: a_{0}=1, b_{0}=2.
  • Iteração 1: m_{1}=\dfrac{1+2}{2}=1{,}5. Calcule f(1{,}5).
    • Se f(1{,}5)=0 pare.
    • Se f(1)\cdot f(1{,}5)<0 então a_{1}=1, b_{1}=1{,}5; senão a_{1}=1{,}5, b_{1}=2.
  • Iteração 2: m_{2}=\dfrac{a_{1}+b_{1}}{2}. Calcule f(m_{2}) e repita a regra de escolha do subintervalo.
  • … repetir até a iteração 10. Ao final, intervalo [a_{10},b_{10}] tem comprimento \le 10^{-3} e uma aproximação conveniente é \widetilde{FS}= (a_{10}+b_{10})/2.
Dica prática de prova sem calculadora: você pode executar as avaliações de f com os números dados (geralmente os enunciados dão) usando uma calculadora científica; para cada avaliação siga cuidadosamente a ordem: calcule \varphi, depois \tan(\varphi), depois o numerador, depois divida pelo denominador, finalmente subtraia de FS candidato.

Passo 8

Discussão didática e comparativa (parte c): por que a bisseção é vantajosa em análises de estabilidade de taludes — pontos fortes e limitações — comparada a métodos iterativos mais rápidos (ex.: ponto fixo).
  • Vantagens da bisseção:
    1. Robustez e garantia: se f é contínua e há um intervalo com sinais opostos, o método sempre converge para alguma raiz dentro do intervalo. Não depende de derivadas ou de boas aproximações iniciais além do intervalo de troca de sinal.
    2. Simplicidade: a regra é simples (dividir intervalo ao meio e escolher subintervalo com troca de sinal). Fácil de implementar à mão ou em código, e muito útil em verificações rápidas.
    3. Controle do erro: após n iterações o erro em x é no máximo (b_{0}-a_{0})/2^{n} — fórmula explícita e prática para certificar precisão requerida (como fizemos para 10^{-3}).
    4. Sem necessidade de derivada ou de avaliação de jacobiano: importante quando f é complicada, irregular ou quando a derivada é difícil/instável de calcular numericamente.
  • Limitações da bisseção:
    1. Convergência linear e relativamente lenta: comparada a métodos de ordem superior (Newton, secante, ponto fixo com boa função rearranjada) ela exige mais iterações para atingir mesma precisão.
    2. Precisa de um intervalo inicial com sinais opostos — às vezes é necessário fazer busca preliminar para encontrá-lo.
    3. Se houver múltiplas raízes no intervalo, bisseção encontrará uma delas, mas não diz qual sem uma análise adicional.
  • Comparação com métodos iterativos mais rápidos (ex.: ponto fixo):
    • Métodos como ponto fixo ou Newton convergem muito mais rápido quando suas hipóteses são satisfeitas (derivadas controladas, boa aproximação inicial). Porém:
      • Podem divergir se a aproximação inicial for inadequada.
      • Requerem avaliação de derivadas (Newton) ou uma forma apropriada de rearranjar a equação (ponto fixo), o que pode ser difícil ou instável com funções que envolvem \tan(\varphi(FS)).
      • Em problemas de engenharia, onde se exige garantia de segurança e resultados previsíveis, a robustez da bisseção é muitas vezes preferível, especialmente como etapa inicial (por exemplo: usar bisseção para localizar a raiz e depois usar Newton para refinar).
  • Conclusão prática e empática: na análise de taludes, onde a função pode ser não linear e sensível a parâmetros (pressão de poros u, variações de \varphi com FS, etc.), a bisseção dá uma solução segura e comprovável. Se for necessário muito mais rapidez depois de localizar aproximação segura, pode-se combinar: bisseção para obter um bom intervalo/estimativa e então Newton ou secante para acelerar a convergência.

Resposta

(a) Pela continuidade de f em [1,2] (já que \varphi(FS) é linear e \tan contínua na faixa considerada) e pela mudança de comportamento do termo \tan(\varphi(FS)) entre FS=1 e FS=2 (fazendo com que f(1) e f(2) assumam sinais opostos na prática geotécnica — ou, no caso limite, um deles seja zero), o Teorema de Bolzano garante a existência de pelo menos uma solução FS\in[1,2].
(b) Com o método da bisseção partindo de [1,2] o comprimento do intervalo após n iterações é 1/2^{n}. Para erro em FS menor que 10^{-3} basta n\ge\lceil\log_{2}(1000)\rceil=10. Ou seja, 10 iterações de bisseção garantem |\widetilde{FS}-FS^{*}|\le 10^{-3}. (Sem os valores numéricos de c,\gamma,z,\theta,u,\phi_{0},k não é possível fornecer aqui o valor decimal final; se esses dados forem informados executo as 10 iterações e retorno o número.)
(c) Vantagens da bisseção: é robusta, sempre convergente sob a hipótese de continuidade e mudança de sinal, não precisa de derivadas e fornece controle explícito do erro; desvantagem: converge linearmente (mais lenta) do que métodos como Newton ou ponto fixo. Em estabilidade de taludes, a bisseção é especialmente valiosa para garantir segurança e obter uma aproximação confiável antes de eventualmente usar métodos mais rápidos para refinamento.

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