O fator de segurança
de um talude infinito pode ser obtido resolvendo a seguinte equação não linear:
em que o ângulo de atrito interno depende do fator de segurança segundo:
sendo todas as demais grandezas conhecidas e positivas.
(a) Utilize o Teorema de Bolzano para mostrar que existe pelo menos uma solução para
no intervalo
.
(b) Aplique o método da bisseção para obter uma aproximação do fator de segurança com erro inferior a
.
(c) Discuta as vantagens do método da bisseção em análises de estabilidade de taludes quando comparado a métodos iterativos mais rápidos, como o método do ponto fixo.
(a) Utilize o Teorema de Bolzano para mostrar que existe pelo menos uma solução para
(b) Aplique o método da bisseção para obter uma aproximação do fator de segurança com erro inferior a
(c) Discuta as vantagens do método da bisseção em análises de estabilidade de taludes quando comparado a métodos iterativos mais rápidos, como o método do ponto fixo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Função a ser resolvida (toda em símbolos que vieram no enunciado):
- Dependência do ângulo de atrito com o fator de segurança:
- As demais grandezas
são todas conhecidas e positivas (isto é, positivas em valor numérico). - Intervalo onde queremos a solução:
— ou seja, .
O enunciado pede três coisas:
(a) Usar o Teorema de Bolzano (Teorema do Valor Intermediário) para mostrar que existe pelo menos uma solução em
.
(b) Aplicar o método da bisseção para obter uma aproximação de com erro inferior a
.
(c) Discutir as vantagens do método da bisseção em problemas de estabilidade de taludes vs. métodos iterativos mais rápidos, como ponto fixo.
(a) Usar o Teorema de Bolzano (Teorema do Valor Intermediário) para mostrar que existe pelo menos uma solução
(b) Aplicar o método da bisseção para obter uma aproximação de
(c) Discutir as vantagens do método da bisseção em problemas de estabilidade de taludes vs. métodos iterativos mais rápidos, como ponto fixo.
Passo 2
Primeira aula rápida e necessária: continuidade e o Teorema de Bolzano.
-
O Teorema de Bolzano (ou Valor Intermediário) diz: se uma função
é contínua num intervalo e e têm sinais opostos (ou um deles é zero), então existe pelo menos um tal que . -
Portanto, para aplicá-lo precisamos:
- Mostrar que
é contínua em . - Mostrar que
(idealmente para garantir sinal oposto, ou um dos valores ser zero já dá solução).
- Mostrar que
-
Verificação de continuidade (passo a passo didático):
-
é uma função linear em , logo contínua. -
é contínua para valores de que não atinjam . Em prática geotécnica é um ângulo de atrito interno tipicamente entre e , logo bem longe de ; com os parâmetros dados assumimos essa condição satisfeita. Portanto é contínua em . - A combinação de operações (soma, produto, quociente por quantidade não nula) preserva continuidade — e o denominador
é estritamente positivo porque e, para um talude, usualmente de modo que . Portanto o quociente é contínuo. - Assim
é contínua em .
-
Concluímos: condição (1) para aplicar Bolzano está satisfeita (continuidade).
Passo 3
Agora vamos analisar os sinais em
e
— isto é, calcular
e
em forma explícita e interpretar.
- Avaliando em
:
logo
- Avaliando em
:
logo
Explicação didática do que essas expressões significam, sem pular etapas:
- O segundo termo que subtrai de
em é, fisicamente, a estimativa da razão entre resistência disponível (termo com e ) e a componente de esforço que tende a provocar o deslizamento ( ). Esse quociente é sempre positivo porque numerador e denominador são positivos (pela hipótese do enunciado). - Observe que
porque é crescente para ângulos na faixa usual e . Portanto o valor do quociente no caso é menor ou igual ao do caso ; simbolicamente:
- Consequência: os valores subtraídos de
e de em e obedecem a uma ordem que ajuda a conseguir sinais opostos (ou, no mínimo, a mostrar que cresce): intuitivamente, o termo subtraído é maior em do que em ; ao mesmo tempo passa de para . Isso tende a fazer menor que .
Passo 4
Introdução ao conceito de monotonicidade e cálculo da derivada — isto ajuda a garantir unicidade e a entender o comportamento de
.
-
Calculemos a derivada
(explico cada passo): - Denote
e para simplificar a escrita (ambos ). - O termo dependente de
é . -
(derivada da função linear). -
. - Assim
- Finalmente
- Denote
-
Interpretação: se
(isto é, se a contribuição é maior que a pressão de poros , condição fisicamente razoável em muitos casos), então e, portanto, . Logo é estritamente crescente em (na verdade em qualquer intervalo onde essa condição valha). -
Consequência prática: se
é contínua e estritamente crescente, então ou implicaria existência (e unicidade) da raiz; além disso, se ou já temos a solução nos extremos.
Passo 5
Aplicando o Teorema de Bolzano (conclusão para (a)) — montagem do argumento final, escrito de forma didática e clara.
-
Recapitulando as peças já obtidas:
-
é contínua em . - Para parâmetros geotecnicamente usuais (em particular, assumindo
, o que torna física a interpretação), é estritamente crescente em . - O valor subtraído em
é tipicamente maior do que o subtraído em , enquanto a parte aumenta de para . Por isso é natural (e normalmente verificado em análises de taludes) ter e . Se uma dessas igualdades for exata, já está provada a existência (a raiz fica num extremo). Caso contrário, com sinais opostos, Bolzano garante pelo menos uma raiz em .
-
-
Portanto, usando Bolzano: como
é contínua e (na prática) (caso de igualdade trivial ou, mais comum, sinal oposto), existe pelo menos um tal que . -
Observação empática: se ao aplicar a expressão com os números reais fornecidos na sua análise de talude você encontrar
e com o mesmo sinal, isso significa que a raiz NÃO está no intervalo — nesse caso é necessário ampliar o intervalo até encontrar um par de extremos com sinais opostos. É fácil verificar numericamente isso com uma calculadora: avalie e e verifique os sinais.
Passo 6
Aplicando o método da bisseção (parte b) — algoritmo, critério de parada e número de iterações necessário para erro
.
-
Lembrete do método (passo a passo prático):
- Partir do intervalo inicial
em que se sabe (ou assume) que existe uma raiz (ou que ). - Calcular o ponto médio
. - Avaliar
. Se (ou menor que tolerância na função) pare; caso contrário, escolha o subintervalo ou em que ocorra a troca de sinal (ou seja, onde muda de sinal), e repita. - Depois de
iterações o comprimento do intervalo é e qualquer ponto do intervalo está a no máximo essa distância da raiz.
- Partir do intervalo inicial
-
Cálculo do número de iterações necessário para erro na raiz (erro em
, não em ): - Queremos
. - Aqui
. Logo precisamos de
- Tomando logaritmo em base 2:
- Portanto
iterações garantem que o erro em (distância do centro do intervalo final para a raiz) seja menor que .
- Queremos
-
Conclusão prática para (b):
- Basta aplicar o procedimento de bisseção por, no máximo, 10 iterações partindo de
. O resultado da bisseção após 10 iterações fornece uma aproximação tal que
ondeé a raiz verdadeira dentro de . - Observação: sem valores numéricos de
não é possível apresentar aqui um número decimal final para . Se você me passar esses parâmetros, eu executo as 10 iterações e devolvo o valor numérico final.
- Basta aplicar o procedimento de bisseção por, no máximo, 10 iterações partindo de
Passo 7
Vou mostrar explicitamente as primeiras iterações em forma algorítmica para você saber exatamente o que calcular na prova (mesmo sem dados numéricos):
- Iteração 0:
, . - Iteração 1:
. Calcule . - Se
pare. - Se
então , ; senão , .
- Se
- Iteração 2:
. Calcule e repita a regra de escolha do subintervalo. - … repetir até a iteração 10. Ao final, intervalo
tem comprimento e uma aproximação conveniente é .
Dica prática de prova sem calculadora: você pode executar as avaliações de
com os números dados (geralmente os enunciados dão) usando uma calculadora científica; para cada avaliação siga cuidadosamente a ordem: calcule
, depois
, depois o numerador, depois divida pelo denominador, finalmente subtraia de
candidato.
Passo 8
Discussão didática e comparativa (parte c): por que a bisseção é vantajosa em análises de estabilidade de taludes — pontos fortes e limitações — comparada a métodos iterativos mais rápidos (ex.: ponto fixo).
-
Vantagens da bisseção:
- Robustez e garantia: se
é contínua e há um intervalo com sinais opostos, o método sempre converge para alguma raiz dentro do intervalo. Não depende de derivadas ou de boas aproximações iniciais além do intervalo de troca de sinal. - Simplicidade: a regra é simples (dividir intervalo ao meio e escolher subintervalo com troca de sinal). Fácil de implementar à mão ou em código, e muito útil em verificações rápidas.
- Controle do erro: após
iterações o erro em é no máximo — fórmula explícita e prática para certificar precisão requerida (como fizemos para ). - Sem necessidade de derivada ou de avaliação de jacobiano: importante quando
é complicada, irregular ou quando a derivada é difícil/instável de calcular numericamente.
- Robustez e garantia: se
-
Limitações da bisseção:
- Convergência linear e relativamente lenta: comparada a métodos de ordem superior (Newton, secante, ponto fixo com boa função rearranjada) ela exige mais iterações para atingir mesma precisão.
- Precisa de um intervalo inicial com sinais opostos — às vezes é necessário fazer busca preliminar para encontrá-lo.
- Se houver múltiplas raízes no intervalo, bisseção encontrará uma delas, mas não diz qual sem uma análise adicional.
-
Comparação com métodos iterativos mais rápidos (ex.: ponto fixo):
- Métodos como ponto fixo ou Newton convergem muito mais rápido quando suas hipóteses são satisfeitas (derivadas controladas, boa aproximação inicial). Porém:
- Podem divergir se a aproximação inicial for inadequada.
- Requerem avaliação de derivadas (Newton) ou uma forma apropriada de rearranjar a equação (ponto fixo), o que pode ser difícil ou instável com funções que envolvem
. - Em problemas de engenharia, onde se exige garantia de segurança e resultados previsíveis, a robustez da bisseção é muitas vezes preferível, especialmente como etapa inicial (por exemplo: usar bisseção para localizar a raiz e depois usar Newton para refinar).
- Métodos como ponto fixo ou Newton convergem muito mais rápido quando suas hipóteses são satisfeitas (derivadas controladas, boa aproximação inicial). Porém:
-
Conclusão prática e empática: na análise de taludes, onde a função pode ser não linear e sensível a parâmetros (pressão de poros
, variações de com , etc.), a bisseção dá uma solução segura e comprovável. Se for necessário muito mais rapidez depois de localizar aproximação segura, pode-se combinar: bisseção para obter um bom intervalo/estimativa e então Newton ou secante para acelerar a convergência.
Resposta
(a) Pela continuidade de
em
(já que
é linear e
contínua na faixa considerada) e pela mudança de comportamento do termo
entre
e
(fazendo com que
e
assumam sinais opostos na prática geotécnica — ou, no caso limite, um deles seja zero), o Teorema de Bolzano garante a existência de pelo menos uma solução
.
(b) Com o método da bisseção partindo de o comprimento do intervalo após
iterações é
. Para erro em
menor que
basta
. Ou seja, 10 iterações de bisseção garantem
. (Sem os valores numéricos de
não é possível fornecer aqui o valor decimal final; se esses dados forem informados executo as 10 iterações e retorno o número.)
(c) Vantagens da bisseção: é robusta, sempre convergente sob a hipótese de continuidade e mudança de sinal, não precisa de derivadas e fornece controle explícito do erro; desvantagem: converge linearmente (mais lenta) do que métodos como Newton ou ponto fixo. Em estabilidade de taludes, a bisseção é especialmente valiosa para garantir segurança e obter uma aproximação confiável antes de eventualmente usar métodos mais rápidos para refinamento.
(b) Com o método da bisseção partindo de
(c) Vantagens da bisseção: é robusta, sempre convergente sob a hipótese de continuidade e mudança de sinal, não precisa de derivadas e fornece controle explícito do erro; desvantagem: converge linearmente (mais lenta) do que métodos como Newton ou ponto fixo. Em estabilidade de taludes, a bisseção é especialmente valiosa para garantir segurança e obter uma aproximação confiável antes de eventualmente usar métodos mais rápidos para refinamento.