A flecha máxima \delta de uma viga simplesmente apoiada, submetida a um carregamento distribuído, pode ser determinada por uma equação implícita quando se considera um modelo não linear de rigidez efetiva:
\delta=\frac{5 q L^{4}}{384 E I(\delta)}
onde o momento de inércia efetivo depende da flecha segundo:
I(\delta)=I_{0}(1+\alpha \delta)
sendo q, L, E, I_{0} e \alpha constantes positivas.
(a) Reescreva o problema como uma equação de ponto fixo \delta=g(\delta).
(b) Determine condições sobre \alpha e sobre o intervalo inicial para garantir a convergência do método do ponto fixo.
(c) Interprete fisicamente a convergência (ou não) do método no contexto do comportamento estrutural da viga.

Passo 1

O enunciado dá duas expressões relacionando a flecha máxima \delta e o momento de inércia efetivo I(\delta):
\delta=\frac{5 q L^{4}}{384 E I(\delta)}
I(\delta)=I_{0}(1+\alpha \delta)
As constantes q, L, E, I_{0}, \alpha são positivas. O enunciado pede três coisas:
(a) reescrever o problema como uma equação de ponto fixo \delta=g(\delta);
(b) determinar condições sobre \alpha e sobre o intervalo inicial (um intervalo [a,b] contendo a solução) que garantam convergência do método do ponto fixo;
(c) interpretar fisicamente o que significa a convergência (ou a falta dela) no contexto do comportamento da viga.
Observação útil a priori: fisicamente a flecha tem que ser não negativa, então procuramos soluções em [0,\infty).

Passo 2

Primeiro obter uma forma explícita \delta=g(\delta). Substituindo I(\delta) na equação da flecha:
\delta=\frac{5 q L^{4}}{384 E I_{0}(1+\alpha \delta)}.
Para simplificar, defina a constante positiva
C := \frac{5 q L^{4}}{384 E I_{0}}.
Assim a expressão fica
\delta=\frac{C}{1+\alpha \delta}.
Logo a formulação como ponto fixo é
\boxed{\,\delta=g(\delta):=\frac{C}{1+\alpha \delta}\,}.
Explicação didática rápida: a ideia de ponto fixo é reescrever a equação original na forma \delta=g(\delta). Uma solução \delta^{*} é um ponto fixo de g, isto é, g(\delta^{*})=\delta^{*}. O método iterativo do ponto fixo usa a sequência \delta_{n+1}=g(\delta_n) para aproximar \delta^{*}.

Passo 3

Para estudar convergência do método do ponto fixo usamos a condição de contracção (teorema do ponto fixo de Banach): se g é contínua em um intervalo [a,b], mapeia [a,b] em si (ou seja g([a,b])\subset[a,b]) e existe k\in[0,1) tal que
\left|g'(\delta)\right|\le k\quad\text{para todo }\delta\in[a,b],
então g é uma contracção em [a,b] e a iteração \delta_{n+1}=g(\delta_n) converge (linearmente) para o único ponto fixo em [a,b], para qualquer \delta_0\in[a,b].
Logo precisamos:
  1. a expressão de g'(\delta);
  2. uma estimativa do supremo de |g'| no intervalo escolhido;
  3. uma condição de invariância g([a,b])\subset[a,b].
Calcule g'(\delta). Da expressão \displaystyle g(\delta)=\frac{C}{1+\alpha\delta} temos, derivando:
g'(\delta) = -\frac{C\alpha}{(1+\alpha\delta)^{2}}.
Portanto
\left|g'(\delta)\right| = \frac{C\alpha}{(1+\alpha\delta)^{2}}.

Passo 4

Agora estimar o máximo de \left|g'(\delta)\right| em um intervalo [a,b]\subset[0,\infty). Como \alpha>0 e \delta\mapsto(1+\alpha\delta)^{2} cresce com \delta, o denominador é mínimo em \delta=a. Logo o máximo de \left|g'(\delta)\right| em [a,b] é obtido em \delta=a. Logo a condição de contracção \sup_{\delta\in[a,b]}|g'(\delta)|<1 equivale a
\frac{C\alpha}{(1+\alpha a)^{2}} < 1.
Isto é a condição quantitativa sobre \alpha e sobre a extremidade a do intervalo que garante a propriedade de contracção.
Explicando mais devagar: se \dfrac{C\alpha}{(1+\alpha a)^{2}}=k<1, então para todo \delta\in[a,b] vale |g'(\delta)|\le k, e portanto g é contracção com constante k.

Passo 5

Agora exigimos que g mapeie [a,b] em si, isto é g(a)\le b e g(b)\ge a. Como g é positiva e estritamente decrescente (derivada negativa), a imagem do intervalo é o intervalo [g(b),g(a)]. As duas desigualdades são:
g(a)=\frac{C}{1+\alpha a}\le b \quad\Longleftrightarrow\quad C \le b(1+\alpha a),
g(b)=\frac{C}{1+\alpha b}\ge a \quad\Longleftrightarrow\quad C \ge a(1+\alpha b).
Portanto a condição de invariância do intervalo é
\boxed{\,a(1+\alpha b)\le C \le b(1+\alpha a)\,}.
Comentário: essas desigualdades dizem que o intervalo [a,b] deve ser escolhido de modo que o valor C (o deslocamento que ocorreria no modelo linear \alpha=0) fique entre as duas quantidades a(1+\alpha b) e b(1+\alpha a).

Passo 6

Juntando as duas exigências (contracção e invariância) obtemos condições suficientes para convergência do ponto fixo:
Existem 0\le a<b tal que
a(1+\alpha b)\le C \le b(1+\alpha a) \qquad\text{e}\qquad \frac{C\alpha}{(1+\alpha a)^{2}}<1.
Isto resolve (b) em forma geral. Essas duas condições garantem que g é contracção em [a,b] e que g([a,b])\subset[a,b], portanto a iteração converge para o único ponto fixo em [a,b].

Passo 7

Dar uma condição simples, prática e física: escolha a=0. Isso é natural porque \delta\ge0. Com a=0 as condições acima se simplificam muito:
  • Invariância: g(a)=g(0)=C\le b. Como g(b)\ge0=a é trivial, basta escolher qualquer b\ge C.
  • Contracção: a condição torna-se
\frac{C\alpha}{(1+0)^{2}}=C\alpha<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha<\frac{1}{C}.
Portanto uma condição prática e simples que garante convergência para qualquer \delta_{0}\in[0,b] é:
\boxed{\text{escolher }[0,b]\text{ com }b\ge C\quad\text{e}\quad \alpha<\dfrac{1}{C}.}
Observação numérica/interpretativa: C é precisamente a flecha que se obteria no modelo linear (quando \alpha=0), porque se \alpha=0 a equação original dá \delta=C. Assim a condição \alpha<1/C diz, em linguagem simples, que a sensibilidade relativa do momento de inércia com a flecha ( \alpha) não seja demasiado grande em comparação com o deslocamento linear C.

Passo 8

Propriedades adicionais (como você poderia usar na prova):
  • Se \alpha<1/C e toma-se [0,b] com b\ge C, então g é contratante e a convergência é linear com razão máxima k=C\alpha.
  • A sequência \delta_{n+1}=g(\delta_n) será monotona a partir de algum termo? Como g é decrescente, a monotonicidade da sequência depende do ponto inicial; mais importante é que a contracção garante convergência independente da monotonicidade.

Passo 9

  • O parâmetro C representa a flecha no modelo linear sem dependência de \delta no momento de inércia. O parâmetro \alpha mede quanto o momento de inércia efetivo aumenta com a flecha.
  • Se \alpha é pequeno (por exemplo \alpha<1/C no caso prático a=0), a dependência não linear é fraca: o incremento de inércia com deslocamento é pequeno e o sistema tem retroalimentação estabilizadora suave. Numericamente, a iteração do ponto fixo converge rapidamente para a solução física única — isto corresponde a um comportamento estrutural estável e bem-comportado.
  • Se \alpha é grande (por exemplo \alpha\ge1/C no caso [0,b]), a dependência não linear é forte. O método do ponto fixo pode não ser contracção e pode divergir ou oscilar, ou convergir muito lentamente. Fisicamente isso quer dizer que a rigidez muda muito com a flecha: pequenas alterações na flecha provocam grandes mudanças na rigidez efetiva, o que pode indicar comportamento fortemente não linear da viga (por exemplo transferência pronunciada de carga, fenômenos de encurvadura local, micro-fissuração/engrossamento do conjunto estrutural dependendo do modelo). Nesses casos a existência/uniqueness da solução pode ainda persistir, mas o método simples de ponto fixo não é adequado e convém usar métodos com melhor estabilidade local, como o método de Newton (linealizado) ou procurar um intervalo inicial mais adequado.
  • Intuição física final: convergência do iterativo significa que a realimentação entre deslocamento e rigidez é suficientemente fraca para que um procedimento explícito (calcular nova \delta a partir da rigidez anterior) estabilize; não convergência indica que essa realimentação é forte e exige um tratamento numérico/analítico mais robusto.

Resposta

(a) \displaystyle \delta=g(\delta)=\frac{C}{1+\alpha\delta}, com \displaystyle C=\frac{5qL^{4}}{384EI_{0}}.\newline
(b) Existem 0\le a<b tais que \displaystyle a(1+\alpha b)\le C\le b(1+\alpha a) e \displaystyle \frac{C\alpha}{(1+\alpha a)^{2}}<1. Em particular, escolhendo o intervalo [0,b] com b\ge C, basta \displaystyle \alpha<\frac{1}{C} para garantir convergência.\newline
(c) Convergência significa que a dependência da rigidez com a flecha é fraca (realimentação estabilizadora) e a solução física é obtida por iteração explícita; não convergência indica forte não linearidade (mudança acentuada da rigidez com a flecha), situação em que o método simples falha e o comportamento estrutural pode exigir análise/numerical mais robusta (p.ex. Newton, análise de estabilidade).

Exercícios relacionados