Fatoração
(a) x^{2}-4

Passo 1

O enunciado pede para fatorar o polinômio x^{2}-4.
Informações fornecidas:
  • O polinômio é x^{2}-4.
  • É um polinômio de grau 2 (coeficiente de x^{2} igual a 1).
  • Não há termo em x (coeficiente de x é 0).
    A tarefa é escrever x^{2}-4 como um produto de fatores de grau menor (preferivelmente fatores lineares).

Passo 2

Conceito que vamos usar: diferença de quadrados. É um caso clássico de fatoração que vale para quaisquer números ou expressões a e b. A fórmula é:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
O que isso significa, explicado devagar:
  • a^{2} é o quadrado de a (ou seja, a multiplicado por a).
  • b^{2} é o quadrado de b.
  • A fórmula diz que a diferença entre dois quadrados se escreve como o produto da soma e da diferença dessas bases.
    Por que a fórmula é verdadeira? Fazendo a expansão do lado direito:
(a-b)(a+b)=a\cdot a + a\cdot b - b\cdot a - b\cdot b = a^{2}-b^{2},
pois a\cdot b e -b\cdot a se cancelam. Esse é o fundamento: ao multiplicar (a-b) por (a+b) os termos mistos se anulam, sobrando apenas os quadrados.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso polinômio: identificar a e b tais que x^{2}-4 seja a^{2}-b^{2}. Observação simples:
x^{2}-4 = x^{2}-2^{2}.
Logo podemos escolher a=x e b=2.

Passo 4

Usando a fórmula da diferença de quadrados com a=x e b=2, obtemos:
x^{2}-4 = (x-2)(x+2).

Passo 5

Verificação rápida (para ter certeza na prova): expandir os fatores obtidos e conferir que voltamos ao polinômio original.
(x-2)(x+2)=x^{2}+2x-2x-4=x^{2}-4.
Os termos +2x e -2x cancelam, sobrando x^{2}-4, que é exatamente o polinômio dado.
Comentário útil para a prova: sempre que vir um quadrado subtraído de outro (algo na forma u^{2}-v^{2}), pense imediatamente em (u-v)(u+v). Além disso, a fatoração dá as raízes x=2 e x=-2, portanto o polinômio é nulo nesses valores — isso ajuda a checar respostas rápidas.

Resposta

(x-2)(x+2)

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