Fatoração
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para fatorar o polinômio
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- O polinômio é
. - É um polinômio de grau
(coeficiente de igual a ). - Não há termo em
(coeficiente de é ).
A tarefa é escrevercomo um produto de fatores de grau menor (preferivelmente fatores lineares).
Passo 2
Conceito que vamos usar: diferença de quadrados. É um caso clássico de fatoração que vale para quaisquer números ou expressões
e
. A fórmula é:
O que isso significa, explicado devagar:
-
é o quadrado de (ou seja, multiplicado por ). -
é o quadrado de . - A fórmula diz que a diferença entre dois quadrados se escreve como o produto da soma e da diferença dessas bases.
Por que a fórmula é verdadeira? Fazendo a expansão do lado direito:
pois
e
se cancelam. Esse é o fundamento: ao multiplicar
por
os termos mistos se anulam, sobrando apenas os quadrados.
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso polinômio: identificar
e
tais que
seja
. Observação simples:
Logo podemos escolher
e
.
Passo 4
Usando a fórmula da diferença de quadrados com
e
, obtemos:
Passo 5
Verificação rápida (para ter certeza na prova): expandir os fatores obtidos e conferir que voltamos ao polinômio original.
Os termos
e
cancelam, sobrando
, que é exatamente o polinômio dado.
Comentário útil para a prova: sempre que vir um quadrado subtraído de outro (algo na forma ), pense imediatamente em
. Além disso, a fatoração dá as raízes
e
, portanto o polinômio é nulo nesses valores — isso ajuda a checar respostas rápidas.
Comentário útil para a prova: sempre que vir um quadrado subtraído de outro (algo na forma