Fatore completamente as expressões algébricas:
(d) 2 x^{2}-32

Passo 1

O enunciado pede: fatorar completamente a expressão 2x^{2}-32.
Informações dadas:
  • A expressão é o polinômio 2x^{2}-32.
  • Os termos são 2x^{2} e -32.
  • O objetivo é escrever essa expressão como um produto de fatores (fatoração completa).

Passo 2

Procurar um fator comum entre os termos (maior fator comum).
  • O número 2 divide 2x^{2} e também divide 32. Não há fator numérico maior que divide ambos.
  • Portanto, o maior fator comum (MDC em coeficientes) é 2.
Fatorando esse 2 em evidência:
2x^{2}-32 = 2\bigl(x^{2}-16\bigr).
Explicação didática: colocar em evidência significa escrever a expressão como o produto do fator comum pelo que sobra em cada termo ao dividir pelo fator comum. Aqui 2x^{2} = 2\cdot x^{2} e -32 = 2\cdot(-16), por isso sai 2 e sobra x^{2}-16.

Passo 3

Reconhecer se a expressão dentro do parêntese pode ser fatorada mais: x^{2}-16.
  • Observação: 16 é 4^{2}, então x^{2}-16 é uma diferença de quadrados.
Regra (diferença de quadrados): para quaisquer a e b,
a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b).
Aqui podemos tomar a=x e b=4. Aplicando a regra:
x^{2}-16 = x^{2}-4^{2} = (x-4)(x+4).
Explicação didática: a diferença de quadrados sempre se separa em dois fatores lineares, um com sinal negativo e outro com sinal positivo entre a e b.

Passo 4

Juntando as duas etapas de fatoração (fator comum + diferença de quadrados):
2x^{2}-32 = 2\bigl(x^{2}-16\bigr) = 2\bigl((x-4)(x+4)\bigr) = 2(x-4)(x+4).
Verificação rápida (para ter certeza): expandir os fatores para retornar à expressão original.
2(x-4)(x+4)=2\bigl(x^{2}+4x-4x-16\bigr)=2(x^{2}-16)=2x^{2}-32,
o que coincide com a expressão inicial.

Passo 5

Dicas rápidas para a hora da prova (meu jeitinho de amigo):
  1. Sempre teste primeiro se existe um fator comum não trivial (como 2, 3, x, etc.). Isso costuma simplificar muito.
  2. Depois, verifique padrões: diferença de quadrados, trinômio quadrado perfeito, fatoração por agrupamento.
  3. Pratique com exemplos pequenos para fixar: por exemplo, 18x^{2}-8. Primeiro evidência 2: 2(9x^{2}-4). Depois diferença de quadrados: 2(3x-2)(3x+2).
Força! Essa é direta: evidencia primeiro, depois diferença de quadrados.

Resposta

2(x-4)(x+4)

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