Fatore o máximo que puder:
-8 x^{3}+12 x^{2}-6 x+1

Passo 1

O que o enunciado pede: fatorar ao máximo o polinômio dado.
O polinômio fornecido é -8x^{3}+12x^{2}-6x+1.
Não há outras informações extras.

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: fatorar um sinal comum. Podemos escrever
-8x^{3}+12x^{2}-6x+1 = -\left(8x^{3}-12x^{2}+6x-1\right).

Passo 3

Agora vou te ensinar um padrão ótimo para reconhecer aqui: a fórmula do cubo de um binômio. Para quaisquer escalares \,a e \,b vale
(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}.
Explicando cada termo: \,a^{3} vem de escolher a nas três multiplicações, -3a^{2}b vem de escolher a duas vezes e b uma vez com sinal negativo (há 3 maneiras de fazer isso), +3ab^{2} vem de escolher a uma vez e b duas vezes, e -b^{3} vem de escolher b nas três multiplicações com sinal negativo (o sinal final é negativo porque (-b)^{3}=-b^{3}). Os coeficientes 1,3,3,1 são os coeficientes binomiais.

Passo 4

Compare o polinômio dentro do parêntese \left(8x^{3}-12x^{2}+6x-1\right) com a forma de um cubo (a-b)^{3}. Se escolhermos
a=2x\qquad\text{e}\qquad b=1,
então, aplicando a fórmula,
(2x-1)^{3}=(2x)^{3}-3(2x)^{2}\cdot 1 +3(2x)\cdot 1^{2}-1^{3}.
Calculando cada termo:
(2x)^{3}=8x^{3},\quad -3(2x)^{2}\cdot 1 = -3\cdot 4x^{2}=-12x^{2},
3(2x)\cdot 1^{2}=6x,\quad -1^{3}=-1.
Somando tudo:
(2x-1)^{3}=8x^{3}-12x^{2}+6x-1.
Portanto identificamos que o que estava dentro do parêntese é exatamente (2x-1)^{3}.

Passo 5

Voltando à identidade do Passo 2 e substituindo a igualdade do Passo 4:
-8x^{3}+12x^{2}-6x+1 = -\left(8x^{3}-12x^{2}+6x-1\right) = -(2x-1)^{3}.
Como (1-2x) = -(2x-1) e ao elevar ao cubo o sinal negativo permanece (porque (-1)^{3}=-1), temos também a forma alternativa
-(2x-1)^{3}=(1-2x)^{3},
que é uma escrita segura e limpa do polinômio já totalmente fatorado.

Resposta

(1-2x)^{3}

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