Fatore o máximo que puder:
Passo 1
O enunciado pede: fatorar ao máximo a expressão
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão é o polinômio
.\n
Pergunta que devemos responder: - Obter a fatoração completa (até onde for possível) desse polinômio.
Passo 2
Primeira ideia: procurar fator comum em todos os termos. Isso é padrão: se todos os termos têm uma mesma variável ou número em comum, podemos “fatorar” esse pedaço para simplificar. Aqui os termos são
,
e
. Todos têm um fator
em comum (pois cada termo contém pelo menos uma potência de
). Então fatoramos
em evidência:
Explicação: dividir cada termo por
dá os termos do parêntese:
,
,
.
Passo 3
Agora precisamos ver se o fator dentro do parêntese,
, pode ser fatorado mais (por exemplo em duas fatores lineares). Técnica prática para quadráticas: tentar encontrar dois números inteiros
e
tais que
e
, quando a quadrática é
. Aqui
,
,
, então procuramos dois números cujo produto é
e soma é
. Possibilidades para produto
são
e
, cujas somas são
e
— nenhuma é
. Conclusão: não existe fatoração com coeficientes inteiros.
Passo 4
Quando não dá para fatorar com inteiros, usamos a fórmula quadrática para encontrar as raízes reais da quadrática. Vou te lembrar a fórmula e o que cada símbolo significa:
A fórmula das raízes para é
A fórmula das raízes para
onde
são os coeficientes da quadrática. Aqui temos
,
,
.
Passo 5
Calculemos o discriminante
:
Agora as raízes são
Simplificando
, obtemos
Passo 6
Cada raiz
corresponde a um fator linear
. Assim a quadrática
pode ser escrita como produto dos fatores associados às raízes
e
:
Uma verificação rápida (útil na prova): note que esses dois fatores são do tipo
e
; multiplicando como diferença de quadrados:
que é exatamente a quadrática original — perfeito.
Passo 7
Juntando com o fator
que tiramos no início, a fatoração completa sobre
(números reais) é
Observação final e dica para a prova: se te pedirem fatorar “sobre os racionais” ou “fatorar por inteiros”, a resposta máxima seria apenas
, porque a quadrática não se decompõe em fatores com coeficientes racionais. Se pedirem fatoração completa em reais, use a forma com
.