Fatore o máximo que puder:
x^{3}-2 x^{2}-5 x

Passo 1

O enunciado pede: fatorar ao máximo a expressão \;x^{3}-2 x^{2}-5 x.\n
Informações dadas:
  • A expressão é o polinômio \;x^{3}-2 x^{2}-5 x.\n
    Pergunta que devemos responder:
  • Obter a fatoração completa (até onde for possível) desse polinômio.

Passo 2

Primeira ideia: procurar fator comum em todos os termos. Isso é padrão: se todos os termos têm uma mesma variável ou número em comum, podemos “fatorar” esse pedaço para simplificar. Aqui os termos são \;x^{3}, \;-2x^{2} e \;-5x. Todos têm um fator \;x em comum (pois cada termo contém pelo menos uma potência de x). Então fatoramos x em evidência:
x^{3}-2 x^{2}-5 x = x\,(x^{2}-2x-5).
Explicação: dividir cada termo por \;x dá os termos do parêntese: \;x^{3}\div x = x^{2}, \;-2x^{2}\div x = -2x, \;-5x\div x = -5.

Passo 3

Agora precisamos ver se o fator dentro do parêntese, \;x^{2}-2x-5, pode ser fatorado mais (por exemplo em duas fatores lineares). Técnica prática para quadráticas: tentar encontrar dois números inteiros m e n tais que m\cdot n = a\cdot c e m+n=b, quando a quadrática é ax^{2}+bx+c. Aqui a=1, b=-2, c=-5, então procuramos dois números cujo produto é -5 e soma é -2. Possibilidades para produto -5 são (1,-5) e (-1,5), cujas somas são -4 e 4 — nenhuma é -2. Conclusão: não existe fatoração com coeficientes inteiros.

Passo 4

Quando não dá para fatorar com inteiros, usamos a fórmula quadrática para encontrar as raízes reais da quadrática. Vou te lembrar a fórmula e o que cada símbolo significa:
A fórmula das raízes para ax^{2}+bx+c=0 é
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a,b,c são os coeficientes da quadrática. Aqui temos a=1, b=-2, c=-5.

Passo 5

Calculemos o discriminante \Delta = b^{2}-4ac:
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot 1\cdot(-5)=4+20=24.
Agora as raízes são
x=\frac{-(-2)\pm\sqrt{24}}{2\cdot 1}=\frac{2\pm\sqrt{24}}{2}.
Simplificando \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}, obtemos
x=\frac{2\pm 2\sqrt{6}}{2}=1\pm\sqrt{6}.

Passo 6

Cada raiz r corresponde a um fator linear (x-r). Assim a quadrática \;x^{2}-2x-5 pode ser escrita como produto dos fatores associados às raízes \;1+\sqrt{6} e \;1-\sqrt{6}:
x^{2}-2x-5 = (x-(1+\sqrt{6}))(x-(1-\sqrt{6})).
Uma verificação rápida (útil na prova): note que esses dois fatores são do tipo (x-1-\sqrt{6}) e (x-1+\sqrt{6}); multiplicando como diferença de quadrados:
((x-1)-\sqrt{6})((x-1)+\sqrt{6})=(x-1)^{2}-(\sqrt{6})^{2}=x^{2}-2x+1-6=x^{2}-2x-5,
que é exatamente a quadrática original — perfeito.

Passo 7

Juntando com o fator x que tiramos no início, a fatoração completa sobre \mathbb{R} (números reais) é
x\,(x-(1+\sqrt{6}))\,(x-(1-\sqrt{6})).
Observação final e dica para a prova: se te pedirem fatorar “sobre os racionais” ou “fatorar por inteiros”, a resposta máxima seria apenas x(x^{2}-2x-5), porque a quadrática não se decompõe em fatores com coeficientes racionais. Se pedirem fatoração completa em reais, use a forma com \sqrt{6}.

Resposta

x\,(x-(1+\sqrt{6}))\,(x-(1-\sqrt{6}))

Exercícios relacionados