Fatore as seguintes expressões:
Passo 1
O enunciado pede para fatorar completamente a expressão
Informações dadas:
- A expressão é um polinômio em várias variáveis:
, , e . - O objetivo é escrever essa expressão como produto de fatores (fatoração).
Passo 2
Observação inicial (ideia de agrupamento): quando temos termos que compartilham fatores em comum, uma técnica útil é agrupar termos e fatorar cada grupo. Vou agrupar os termos em três blocos que parecem ter fatores óbvios:
Agora vou fatorar cada bloco usando a propriedade distributiva: para quaisquer números ou polinômios
vale
. Aplicando isso em cada grupo:
- No primeiro grupo
há fator comum . Então
- No segundo grupo
há fator comum . Então
Repare que
. Podemos escrever
- No terceiro grupo
há fator comum . Então
Substituindo essas factorizações na soma inicial:
Passo 3
Agora note que
(novamente distributiva, agora no sentido de fator comum
). Assim a expressão fica
Para facilitar a fatoração conjunta, é conveniente escrever ambos os termos com o mesmo fator base
. Observe que
. Usando isso:
Agora temos duas parcelas que possuem o mesmo fator
. Podemos fatorar esse fator comum:
Finalmente simplificamos o parêntese:
portanto a fatoração é
Passo 4
Verificação (expandindo para checar): vamos expandir
para confirmar que volta à expressão original. Primeiro aplicamos distributiva:
Calculando cada parte:
Então
que reordenando é exatamente
Assim a fatoração está correta.
Passo 5
Comentário rápido sobre a técnica usada: isso é “fatoração por agrupamento”. A ideia é juntar termos que compartilham um fator comum, fatorar dentro dos grupos e depois ver se aparece um fator comum entre os grupos resultantes. Dica prática para a prova: se houver termos com
e vários termos lineares em
, tente agrupar por pares que contenham
e verifique se aparece um fator como
ou
.