Fatore as seguintes expressões:
x^{2}-a x-x y+a y-x z+a z

Passo 1

O enunciado pede para fatorar completamente a expressão
x^{2}-a x-x y+a y-x z+a z.
Informações dadas:
  • A expressão é um polinômio em várias variáveis: x, a, y e z.
  • O objetivo é escrever essa expressão como produto de fatores (fatoração).

Passo 2

Observação inicial (ideia de agrupamento): quando temos termos que compartilham fatores em comum, uma técnica útil é agrupar termos e fatorar cada grupo. Vou agrupar os termos em três blocos que parecem ter fatores óbvios:
(x^{2}-a x)\;+\;(- x y+a y)\;+\;(- x z+a z).
Agora vou fatorar cada bloco usando a propriedade distributiva: para quaisquer números ou polinômios u,v,w vale \,u v + u w = u(v+w). Aplicando isso em cada grupo:
  • No primeiro grupo (x^{2}-a x) há fator comum x. Então
x^{2}-a x = x(x-a).
  • No segundo grupo (- x y+a y) há fator comum y. Então
- x y+a y = y(-x+a).
Repare que (-x+a)= (a-x). Podemos escrever
- x y+a y = y(a-x).
  • No terceiro grupo (- x z+a z) há fator comum z. Então
- x z+a z = z(-x+a) = z(a-x).
Substituindo essas factorizações na soma inicial:
x(x-a) + y(a-x) + z(a-x).

Passo 3

Agora note que y(a-x)+z(a-x)=(a-x)(y+z) (novamente distributiva, agora no sentido de fator comum (a-x)). Assim a expressão fica
x(x-a) + (a-x)(y+z).
Para facilitar a fatoração conjunta, é conveniente escrever ambos os termos com o mesmo fator base (x-a). Observe que (a-x)=-(x-a). Usando isso:
x(x-a) + (a-x)(y+z) = x(x-a) - (x-a)(y+z).
Agora temos duas parcelas que possuem o mesmo fator (x-a). Podemos fatorar esse fator comum:
x(x-a) - (x-a)(y+z) = (x-a)\bigl(x - (y+z)\bigr).
Finalmente simplificamos o parêntese:
\bigl(x - (y+z)\bigr) = x - y - z,
portanto a fatoração é
(x-a)(x-y-z).

Passo 4

Verificação (expandindo para checar): vamos expandir (x-a)(x-y-z) para confirmar que volta à expressão original. Primeiro aplicamos distributiva:
(x-a)(x-y-z) = (x-a)x - (x-a)(y+z).
Calculando cada parte:
(x-a)x = x^{2}-a x,
(x-a)(y+z) = x y + x z - a y - a z.
Então
(x-a)x - (x-a)(y+z) = x^{2}-a x - x y - x z + a y + a z,
que reordenando é exatamente
x^{2}-a x-x y+a y-x z+a z.
Assim a fatoração está correta.

Passo 5

Comentário rápido sobre a técnica usada: isso é “fatoração por agrupamento”. A ideia é juntar termos que compartilham um fator comum, fatorar dentro dos grupos e depois ver se aparece um fator comum entre os grupos resultantes. Dica prática para a prova: se houver termos com x^2 e vários termos lineares em x, tente agrupar por pares que contenham x e verifique se aparece um fator como (x-a) ou (x+b).

Resposta

(x-a)(x-y-z)

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