Fatore as seguintes expressões:
(a-b)^{2}+4 a b

Passo 1

O que o enunciado dá e pede.
  • Dada a expressão (a-b)^{2}+4ab.
  • Pede-se: fatorar essa expressão (ou seja, escrever como produto de fatores, preferencialmente como um quadrado perfeito se for o caso).

Passo 2

Expandir o quadrado (a-b)^{2} para ver a forma polinomial e somar 4ab.
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
Portanto,
(a-b)^{2}+4ab=a^{2}-2ab+b^{2}+4ab

Passo 3

Simplificar os termos semelhantes (somar os coeficientes de ab).
a^{2}-2ab+b^{2}+4ab=a^{2}+( -2ab+4ab)+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

Passo 4

Reconhecer que a^{2}+2ab+b^{2} é um trinômio quadrado perfeito. A identidade geral é:
x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2},
onde x e y são quaisquer expressões (aqui x=a e y=b). Aplicando:
a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}.
Exemplo concreto para fixar: com a=3 e b=1,
(3-1)^{2}+4\cdot3\cdot1=2^{2}+12=4+12=16
e
(3+1)^{2}=4^{2}=16,
ambos coincidem, confirmando a fatoração.

Resposta

(a+b)^{2}

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