Quais fatores são primordiais se considerar na ampliação de escala de sistemas agitados. Explique-os matematicamente.

Passo 1

O enunciado pergunta quais fatores devemos obrigatoriamente manter ou considerar ao ampliar a escala de um reator agitado. O conteúdo principal é a análise dimensional em dinâmica de fluidos e transferência de massa em sistemas agitados, usando números adimensionais e relações de semelhança (geométrica, cinemática e dinâmica). Para resolver, vamos empregar definições de Reynolds ( \text{Re}), número de potência ( \text{Np}), potência específica ( P/V), tempo de mistura e velocidade periférica do agitador.

Passo 2

Geometria constante (semelhança geométrica):
para que o perfil de escoamento seja similar, todas as razões lineares devem permanecer iguais na escala maior. Se o agitador tem diâmetro D e na escala ampliada D', precisa valer
\frac{D'}{D} = \frac{H'}{H} = \frac{d_i'}{d_i} = \cdots
em que H é a altura do tanque e d_i são diâmetros de baffles, pás etc. Sem isso, não haverá semelhança.

Passo 3

Semelhança cinemática (Reynolds constante):
o número de Reynolds em um agitador é
\text{Re} \;=\;\frac{N\,D^2}{\nu},
onde N é a rotação (s ^{-1}) e \nu a viscosidade cinemática. Para manter o mesmo regime de escoamento (laminar, de transição ou turbulento) em escala maior, fixa-se
\text{Re}' = \text{Re}.
Isto impõe a relação entre N' e D':
\frac{N'\,D'^2}{\nu} \;=\;\frac{N\,D^2}{\nu} \quad\Longrightarrow\quad N' = N\,\Bigl(\frac{D}{D'}\Bigr)^2.

Passo 4

Semelhança dinâmica (número de potência constante):
o número de potência é
\text{Np} \;=\;\frac{P}{\rho\,N^3\,D^5},
onde P é a potência absorvida e \rho a densidade do fluido. Manter \text{Np}'=\text{Np} garante que as distribuições de força inercial e viscosas sejam similares. Logo, a potência na nova escala obedece
P' = \rho\,\text{Np}\,N'^3\,D'^5 \;\propto\; \rho\,N^3\,D^5\,\Bigl(\tfrac{D'}{D}\Bigr)^5\,\Bigl(\tfrac{N'}{N}\Bigr)^3.
Usando Re constante, resulta P'\propto D'^5/D^4.

Passo 5

Potência específica e tempo de mistura:
a potência específica é
\frac{P}{V},
onde V\propto D^3. Para conservar a eficiência de mistura e a transferência de massa, costuma-se manter P'/V'=P/V. O tempo de mistura \tau_m escala aproximadamente como
\tau_m \;\propto\;\frac{D^2}{\nu}\,\frac{1}{\text{Re}} \quad\overset{\text{Re constante}}{\Longrightarrow}\quad \tau_m'\propto\frac{D'^2}{D^2}\,\tau_m.
Isto mostra que, mesmo com Re e Np constantes, \tau_m aumenta com (D'/D)^2, exigindo ajuste de N' ou de pás para não prejudicar a homogeneização.

Passo 6

Velocidade periférica e transferência de massa:
a velocidade na ponta das pás é
u = \pi\,D\,N.
Para manter a mesma taxa de cisalhamento (importante em reações sensíveis e quebra de gotas), fixa-se u'=u. Na transferência de massa, o coeficiente k_La geralmente obedece correlação do tipo
k_La\;\propto\;\Bigl(\frac{P}{V}\Bigr)^m,
com m\approx0{,}5 a 0{,}7. Manter P/V constante assegura semelhança no \,k_La.

Resposta

Os fatores primordiais são:
(a) semelhança geométrica (todas as razões lineares iguais);
(b) Reynolds constante ( \text{Re}=\tfrac{N\,D^2}{\nu});
(c) número de potência constante ( \text{Np}=\tfrac{P}{\rho\,N^3\,D^5});
(d) potência específica constante ( P/V);
(e) consideração do tempo de mistura ( \tau_m\propto D^2/(\nu\,\text{Re}));
(f) manutenção da velocidade periférica ( u=\pi D N) para assegurar semelhança de cisalhamento e transferência de massa ( k_La).

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