Quais fatores são primordiais se considerar na ampliação de escala de sistemas agitados. Explique-os matematicamente.
Passo 1
O enunciado pergunta quais fatores devemos obrigatoriamente manter ou considerar ao ampliar a escala de um reator agitado. O conteúdo principal é a análise dimensional em dinâmica de fluidos e transferência de massa em sistemas agitados, usando números adimensionais e relações de semelhança (geométrica, cinemática e dinâmica). Para resolver, vamos empregar definições de Reynolds (
), número de potência (
), potência específica (
), tempo de mistura e velocidade periférica do agitador.
Passo 2
Geometria constante (semelhança geométrica):
para que o perfil de escoamento seja similar, todas as razões lineares devem permanecer iguais na escala maior. Se o agitador tem diâmetro e na escala ampliada
, precisa valer
para que o perfil de escoamento seja similar, todas as razões lineares devem permanecer iguais na escala maior. Se o agitador tem diâmetro
em que
é a altura do tanque e
são diâmetros de baffles, pás etc. Sem isso, não haverá semelhança.
Passo 3
Semelhança cinemática (Reynolds constante):
o número de Reynolds em um agitador é
o número de Reynolds em um agitador é
onde
é a rotação (s
) e
a viscosidade cinemática. Para manter o mesmo regime de escoamento (laminar, de transição ou turbulento) em escala maior, fixa-se
Isto impõe a relação entre
e
:
Passo 4
Semelhança dinâmica (número de potência constante):
o número de potência é
o número de potência é
onde
é a potência absorvida e
a densidade do fluido. Manter
garante que as distribuições de força inercial e viscosas sejam similares. Logo, a potência na nova escala obedece
Usando Re constante, resulta
.
Passo 5
Potência específica e tempo de mistura:
a potência específica é
a potência específica é
onde
. Para conservar a eficiência de mistura e a transferência de massa, costuma-se manter
. O tempo de mistura
escala aproximadamente como
Isto mostra que, mesmo com Re e Np constantes,
aumenta com
, exigindo ajuste de
ou de pás para não prejudicar a homogeneização.
Passo 6
Velocidade periférica e transferência de massa:
a velocidade na ponta das pás é
a velocidade na ponta das pás é
Para manter a mesma taxa de cisalhamento (importante em reações sensíveis e quebra de gotas), fixa-se
. Na transferência de massa, o coeficiente
geralmente obedece correlação do tipo
com
a
. Manter
constante assegura semelhança no
.
Resposta
Os fatores primordiais são:
(a) semelhança geométrica (todas as razões lineares iguais);
(b) Reynolds constante ( );
(c) número de potência constante ( );
(d) potência específica constante ( );
(e) consideração do tempo de mistura ( );
(f) manutenção da velocidade periférica ( ) para assegurar semelhança de cisalhamento e transferência de massa (
).
(a) semelhança geométrica (todas as razões lineares iguais);
(b) Reynolds constante (
(c) número de potência constante (
(d) potência específica constante (
(e) consideração do tempo de mistura (
(f) manutenção da velocidade periférica (