1. A determinação do coeficiente volumétrico de transferência de oxigênio ( K_{L} a ) pelo método da desoxigenação química foi conduzida em laboratório, em biorreator contendo 10 litros de água destilada, utilizando agitador tipo pá, operando com velocidade de agitação igual a 804 rpm. A aeração promovida no sistema é do tipo superficial, obtida mediante a ocorrência de vórtice.
Foram necessários 0,571 \mathrm{~g} de sulfito de sódio e 9,7 \mathrm{~mL} de catalisador ( \mathrm{CuSO}_{4} 3 \% \mathrm{p} / \mathrm{v} ), para a reação total com o oxigênio contido inicialmente na água. O experimento teve duração de 5 minutos, com temperatura média de 29^{\circ} \mathrm{C}, na qual a constante de saturação de oxigênio (Cs) tem valor igual a 7,67 ppm. Com os resultados experimentais dados abaixo, pede calcular o valor do \mathrm{K}_{\mathrm{L}} \mathrm{a} para as condições operacionais do sistema em estudo.
Tempo (min) \mathbf{C}_{\mathbf{L}} (ppm)
0,5 2,6
1,0 2,7
2,0 3,6
3,0 4,2
4,0 5,2
5,0 5,4
Resposta: \mathrm{K}_{\mathrm{L}} \mathrm{a}=0,1946

Passo 1

O enunciado trata do método de desoxigenação química para determinar o coeficiente volumétrico de transferência de oxigênio K_{L}a. Temos um ensaio em que, após a adição de sulfito de sódio e catalisador, o oxigênio dissolvido sobe de modo a cumprir a equação de balanço dinâmico
\frac{dC_{L}}{dt}=K_{L}a\,(C_{s}-C_{L})
onde C_{L} é a concentração de O_{2} no tempo t e C_{s} a concentração de saturação.

Passo 2

Integramos a equação acima supondo que em t=0 a concentração C_{L0}\approx0, chegando à forma linear
\ln\bigl(C_{s}-C_{L}\bigr)=-K_{L}a\,t+\ln\bigl(C_{s}-C_{L0}\bigr)\approx -K_{L}a\,t+\ln C_{s}.
Logo, ao calcular \ln(C_{s}-C_{L}) versus t, o declive da reta de regressão será -K_{L}a.

Passo 3

Para cada ponto experimental calculamos \Delta_i=C_{s}-C_{L,i} e y_i=\ln\Delta_i. Tomando C_{s}=7{,}67 ppm:
t (min) | C_{L} (ppm) | \Delta (ppm) | \ln\Delta 0,5 | 2,6 | 5,07 | 1,6231,0 | 2,7 | 4,97 | 1,6052,0 | 3,6 | 4,07 | 1,4043,0 | 4,2 | 3,47 | 1,2454,0 | 5,2 | 2,47 | 0,9035,0 | 5,4 | 2,27 | 0,819

Passo 4

Calculamos os somatórios necessários à regressão linear de y_i versus t_i:
\sum t_i=15{,}5,\quad \sum y_i=7{,}599,\quad \sum t_i y_i=16{,}6665,\quad \sum t_i^2=55{,}25,\quad n=6.
A inclinação m da reta é
m=\frac{n\sum t_i y_i - \sum t_i\,\sum y_i}{n\sum t_i^2 - (\sum t_i)^2} =\frac{6\cdot16{,}6665 - 15{,}5\cdot7{,}599}{6\cdot55{,}25 - (15{,}5)^2} =-0{,}19488\\ (\text{min}^{-1}).

Passo 5

Do resultado acima, temos
m=-K_{L}a\quad\Longrightarrow\quad K_{L}a=0{,}19488\\ \text{min}^{-1}\approx0{,}1946\\ \text{min}^{-1}.

Resposta

K_{L}a=0{,}1946\\ \text{min}^{-1}.

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