Um fazendeiro possui uma fazenda de criação de porcos para abate e deseja determinar o custo mínimo de uma dieta que garanta aos animais os seguintes requisitos mínimos de nutrientes: as proteínas devem ser fornecidas em uma quantidade de 200 u.m., as vitaminas, 250 u.m. e, os carboidratos, 120 u.m. Considere que os alimentos disponíveis no mercado são: milho, ração preparada e alfafa, ao custo por quilograma de \mathrm{R} \ 20,00 , R \ 30,00) e R $ 35,00), respectivamente. A tabela dada a seguir resume a quantidade de cada nutriente presente em 1 Kg de cada alimento.
Milho
Ra, \mathrm{c}^{\sim} \mathrm{a}
o
Alfafa
Prote'ína 10 10 40
Vitamina 20 20 30
Carboidrato 20 40 20
Determine:
Modelo primal;

Passo 1

O enunciado pede para formular o modelo primal de um problema de programação linear (PL) cuja função objetivo é minimizar o custo de uma dieta que satisfaça requisitos mínimos de nutrientes (proteínas, vitaminas e carboidratos). Para isso, vamos definir variáveis de quantidade de cada alimento e depois montar a função custo e as restrições de nutrientes.

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão:
x_{1} = quantidade (em kg) de milho
x_{2} = quantidade (em kg) de ração preparada
x_{3} = quantidade (em kg) de alfafa

Passo 3

A função objetivo é o custo total da dieta, que deve ser minimizado. Como os custos por kg são R$ 20, R$ 30 e R$ 35, respectivamente, temos:
\text{Minimizar } Z = 20\,x_{1} + 30\,x_{2} + 35\,x_{3}

Passo 4

As restrições garantem os requisitos mínimos de nutrientes. Para cada kg de alimento, as quantidades são dadas na tabela, de modo que:
10\,x_{1} + 10\,x_{2} + 40\,x_{3} \ge 200
20\,x_{1} + 20\,x_{2} + 30\,x_{3} \ge 250
20\,x_{1} + 40\,x_{2} + 20\,x_{3} \ge 120

Passo 5

As variáveis não podem ser negativas:
x_{1} \ge 0,\quad x_{2} \ge 0,\quad x_{3} \ge 0

Resposta

O modelo primal é:
\begin{aligned} &\text{Minimizar } Z = 20\,x_{1} + 30\,x_{2} + 35\,x_{3},\\\ &\text{sujeito a}\\\ &10\,x_{1} + 10\,x_{2} + 40\,x_{3} \ge 200,\\\ &20\,x_{1} + 20\,x_{2} + 30\,x_{3} \ge 250,\\\ &20\,x_{1} + 40\,x_{2} + 20\,x_{3} \ge 120,\\\ &x_{1},\,x_{2},\,x_{3} \ge 0. \end{aligned}

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