Um fazendeiro possui uma fazenda de criação de porcos para abate e deseja determinar o custo mínimo de uma dieta que garanta aos animais os seguintes requisitos mínimos de nutrientes: as proteínas devem ser fornecidas em uma quantidade de 200 u.m., as vitaminas, 250 u.m. e, os carboidratos, 120 u.m. Considere que os alimentos disponíveis no mercado são: milho, ração preparada e alfafa, ao custo por quilograma de \mathrm{R} \ 20,00 , R \ 30,00) e R $ 35,00), respectivamente. A tabela dada a seguir resume a quantidade de cada nutriente presente em 1 Kg de cada alimento.
Milho
Ra, \mathrm{c}^{\sim} \mathrm{a}
o
Alfafa
Prote'ína 10 10 40
Vitamina 20 20 30
Carboidrato 20 40 20
Determine:
Modelo dual;

Passo 1

O enunciado trata de um problema de dieta com três tipos de alimento (milho, ração e alfafa) que devem suprir, no mínimo, 200 u.m. de proteínas, 250 u.m. de vitaminas e 120 u.m. de carboidratos, ao menor custo. O conteúdo é Programação Linear e, em particular, Dualidade. Primeiro vamos escrever o modelo primal e em seguida formular o modelo dual.

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão como as quantidades em kg de cada alimento:
x_1 = \text{kg de milho},\quad x_2 = \text{kg de ração},\quad x_3 = \text{kg de alfafa}.çã
O modelo primal é:
\min\; z = 20\,x_1 + 30\,x_2 + 35\,x_3
sujeito a
10\,x_1 + 10\,x_2 + 40\,x_3 \ge 200,
20\,x_1 + 20\,x_2 + 30\,x_3 \ge 250,
20\,x_1 + 40\,x_2 + 20\,x_3 \ge 120,
x_1,\;x_2,\;x_3 \ge 0.

Passo 3

Para formular o dual, associamos variáveis duais não negativas \;y_1,y_2,y_3\ge0\; às três restrições de \ge. Como o primal é de minimização com restrições do tipo \ge, o dual será de maximização.
A função-objetivo do dual é:
\max\; w = 200\,y_1 \;+\;250\,y_2\;+\;120\,y_3

Passo 4

As restrições do dual vêm das colunas de coeficientes do primal, exigindo A^T y \le c. Assim temos:
10\,y_1 + 20\,y_2 + 20\,y_3 \;\le\; 20,
10\,y_1 + 20\,y_2 + 40\,y_3 \;\le\; 30,
40\,y_1 + 30\,y_2 + 20\,y_3 \;\le\; 35,
com
y_1,\;y_2,\;y_3 \ge 0.

Resposta

\max\; w = 200\,y_1 + 250\,y_2 + 120\,y_3
sujeito a
10\,y_1 + 20\,y_2 + 20\,y_3 \le 20,
10\,y_1 + 20\,y_2 + 40\,y_3 \le 30,
40\,y_1 + 30\,y_2 + 20\,y_3 \le 35,
y_1,\;y_2,\;y_3 \ge 0.

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