Um fazendeiro possui uma fazenda de criação de porcos para abate e deseja determinar o custo mínimo de uma dieta que garanta aos animais os seguintes requisitos mínimos de nutrientes: as proteínas devem ser fornecidas em uma quantidade de 200 u.m., as vitaminas, 250 u.m. e, os carboidratos, 120 u.m. Considere que os alimentos disponíveis no mercado são: milho, ração preparada e alfafa, ao custo por quilograma de
20,00
30,00) e R $ 35,00), respectivamente. A tabela dada a seguir resume a quantidade de cada nutriente presente em 1 Kg de cada alimento.
Milho
Ra,
o
Alfafa
Prote'ína
10
10
40
Vitamina
20
20
30
Carboidrato
20
40
20
Determine:
Modelo dual;
Milho |
|
Alfafa | |||
Prote'ína | 10 | 10 | 40 | ||
Vitamina | 20 | 20 | 30 | ||
Carboidrato | 20 | 40 | 20 |
Modelo dual;
Passo 1
O enunciado trata de um problema de dieta com três tipos de alimento (milho, ração e alfafa) que devem suprir, no mínimo, 200 u.m. de proteínas, 250 u.m. de vitaminas e 120 u.m. de carboidratos, ao menor custo. O conteúdo é Programação Linear e, em particular, Dualidade. Primeiro vamos escrever o modelo primal e em seguida formular o modelo dual.
Passo 2
Definimos as variáveis de decisão como as quantidades em kg de cada alimento:
O modelo primal é:
sujeito a
Passo 3
Para formular o dual, associamos variáveis duais não negativas
às três restrições de
. Como o primal é de minimização com restrições do tipo
, o dual será de maximização.
A função-objetivo do dual é:
Passo 4
As restrições do dual vêm das colunas de coeficientes do primal, exigindo
. Assim temos:
com
Resposta
sujeito a