Fazendo as considerações necessárias, mostre uma forma de se chegar à função de onda unidimensional, mostrada abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar como chegar na equação de onda unidimensional:
O conteúdo aqui é de equações de onda na física, que descrevem como ondas se propagam no espaço e no tempo. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo diferencial e como relacionar as variações da posição $ y $ no tempo $ t $ e no espaço $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em uma onda que se move ao longo de uma corda ou de um fio. Imagine que $ y(x, t) $ representa a posição vertical de um ponto na corda em função de $ x $ e $ t $.
Passo 3
Para descrever como essa onda se move, usamos as derivadas parciais de $ y $ em relação ao tempo e ao espaço. A derivada segunda de $ y $ em relação ao tempo, $ \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} $, representa a aceleração desse ponto na corda.
Passo 4
Já a derivada segunda de $ y $ em relação ao espaço, $ \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} $, está relacionada à curvatura da corda naquele ponto. Quanto mais curva a corda, maior essa derivada.
Passo 5
A velocidade $ v $ é a velocidade com que a onda se propaga pela corda. Para relacionar essas quantidades, podemos usar a seguinte relação fundamental das ondas:
Essa é a equação da onda unidimensional que nos diz como a posição da onda varia no espaço e no tempo.
Resposta
Então, mostramos que a função de onda unidimensional é dada por: