Fazer a derivada de cada uma das funções a seguir, numeradas de 01 a 09.
  1. y=12 x^{3}+6 x^{2}

Resolução:

\begin{aligned} & \frac{d y}{d x}=3.12 x^{3-1}+2.6 x^{2-1} \\ & \frac{d y}{d x}=36 x^{2}+12 x \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a função y = 12x^{3} + 6x^{2} e pede para calcular a derivada \dfrac{d y}{d x}.
Informações relevantes: a função é soma de dois monômios com coeficientes constantes: 12x^{3} e 6x^{2}.

Passo 2

Regra que vamos usar (Regra do poder / potência e linearidade):
\frac{d}{d x}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1},
onde n é um número real qualquer.
Também usamos a linearidade da derivada: a derivada de soma é a soma das derivadas, e constantes saem como fator:
\frac{d}{d x}\bigl(a\cdot f(x)\bigr)=a\cdot\frac{d}{d x}f(x),
onde a é constante.

Passo 3

Aplicando a regra termo a termo: primeiro termo 12x^{3}. Usando \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1} com n=3 e fator 12:
\frac{d}{d x}\bigl(12x^{3}\bigr)=12\cdot\frac{d}{d x}\bigl(x^{3}\bigr)=12\cdot(3x^{3-1}).
Fazendo a multiplicação e simplificação do expoente:
12\cdot(3x^{2})=36x^{2}.

Passo 4

Agora o segundo termo 6x^{2}. Aplicando a mesma regra com n=2 e fator 6:
\frac{d}{d x}\bigl(6x^{2}\bigr)=6\cdot\frac{d}{d x}\bigl(x^{2}\bigr)=6\cdot(2x^{2-1}).
Simplificando:
6\cdot(2x^{1})=12x.
Lembre que x^{1} escrevemos simplesmente como x.

Passo 5

Somando as derivadas dos termos (linearidade):
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\bigl(12x^{3}\bigr)+\frac{d}{d x}\bigl(6x^{2}\bigr)=36x^{2}+12x.

Resposta

\dfrac{d y}{d x}=36x^{2}+12x

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