Fazer a derivada de cada uma das funções a seguir, numeradas de 01 a 09.
02. y=0,4 x^{5}+0,5 x^{4}+2 x^{3}-x
\begin{aligned} & \frac{d y}{d x}=5 \cdot 0,4 x^{5-1}+4 \cdot 0,5 x^{4-1}+3 \cdot 2 x^{3-1}-1 \cdot x^{1-1} \\ & \frac{d y}{d x}=2 x^{4}+x^{3}+6 x^{2}-1 \end{aligned}

Passo 1

O que o exercício pede: calcular a derivada da função dada. O enunciado fornece a função
y=0,4\,x^{5}+0,5\,x^{4}+2\,x^{3}-x.
Dados importantes que vamos usar: os coeficientes dos termos são \,0,4,\;0,5,\;2 e o último termo é -x. A operação pedida é \dfrac{dy}{dx} — a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Regra que vamos usar (Regra da potência, aplicada termo a termo):
Se um termo é a\,x^{n}, com a constante e n inteiro positivo, então sua derivada é
\frac{d}{dx}\big(a\,x^{n}\big)=a\cdot n\,x^{n-1}.
Explicando as partes: a é o coeficiente (número que multiplica x^{n}), n é o expoente. Multiplica-se o coeficiente por n e diminui-se o expoente em 1. Aplicamos isso a cada termo da soma, porque a derivada de uma soma é a soma das derivadas.

Passo 3

Derivando o primeiro termo \,0,4\,x^{5}: aplicar a regra com a=0,4 e n=5:
\frac{d}{dx}\big(0,4\,x^{5}\big)=0,4\cdot 5\,x^{5-1}.
Calcule o produto e o novo expoente:
0,4\cdot 5 = 2,\qquad 5-1=4,
portanto a derivada do primeiro termo é 2\,x^{4}.

Passo 4

Derivando o segundo termo \,0,5\,x^{4}: aqui a=0,5 e n=4:
\frac{d}{dx}\big(0,5\,x^{4}\big)=0,5\cdot 4\,x^{4-1}.
Calcule:
0,5\cdot 4 = 2,\qquad 4-1=3,
logo a derivada do segundo termo é 2\,x^{3}.

Passo 5

Derivando o terceiro termo \,2\,x^{3}: aqui a=2 e n=3:
\frac{d}{dx}\big(2\,x^{3}\big)=2\cdot 3\,x^{3-1}.
Calcule:
2\cdot 3 = 6,\qquad 3-1=2,
portanto a derivada do terceiro termo é 6\,x^{2}.

Passo 6

Derivando o quarto termo -x: escrevendo -x como -1\cdot x^{1}, aplica-se a regra com a=-1 e n=1:
\frac{d}{dx}\big(-x\big)=(-1)\cdot 1\,x^{1-1}.
Calcule:
(-1)\cdot 1 = -1,\qquad 1-1=0,
e como x^{0}=1, a derivada do quarto termo é -1.

Passo 7

Resumo das derivadas termo a termo (sem juntar em uma única linha nesta etapa):
  • derivada de 0,4\,x^{5} é 2\,x^{4},
  • derivada de 0,5\,x^{4} é 2\,x^{3},
  • derivada de 2\,x^{3} é 6\,x^{2},
  • derivada de -x é -1.
Dica final rápida: atenção ao cálculo dos produtos com decimais (como 0,4\cdot 5 e 0,5\cdot 4), é onde costumam aparecer erros na pressa da prova. Você fez certo em escrever cada passo; só tinha uma multiplicação incorreta no rascunho inicial. Força aí — está indo bem!

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=2\,x^{4}+2\,x^{3}+6\,x^{2}-1

Exercícios relacionados