Fazer as seguintes conversões:
  • De decimal para Binário (E Vice-Versa)
  • De Decimal para Octal (E Vice-Versa)
  • De Decimal para Hexadecimal (E Vice- Versa)
    198440008192

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos. O número decimal dado é 198440008192_{10}. Precisamos fazer as conversões nos dois sentidos:
  • Decimal \leftrightarrow Binário;
  • Decimal \leftrightarrow Octal;
  • Decimal \leftrightarrow Hexadecimal.
    Vou mostrar passo a passo como obter cada representação e também como converter de volta para decimal para checar (isso é importante na prova: demonstrar que a conversão é reversível).

Passo 2

Breve explicação dos métodos que vou usar (e por que).
  • Conversão decimal \to base menor (binário, octal, hex) pode ser feita por divisões sucessivas (dividir por 2, 8 ou 16 e anotar restos). Esse é o método fundamental e sempre válido.
  • Para números grandes, é muito mais rápido (e menos sujeito a erros) fazer decimal \to hexadecimal por divisões por 16 e, depois, usar mapeamentos:
    • cada dígito hexadecimal corresponde a 4 bits binários (hex \to binário direto é trivial);
    • e com o binário completo pode-se agrupar de 3 em 3 bits para obter octal.
      Portanto: vou usar divisões sucessivas por 16 para obter o hexadecimal; daí mapearei para binário e, a partir do binário, agruparei para obter o octal. Em seguida mostro como converter cada representação de volta para decimal por soma posicional (método básico).

Passo 3

Conversão decimal \to hexadecimal pelo método das divisões sucessivas: dividir por 16 e anotar quocientes e restos (o resto é um dígito hexadecimal, 10\to A,\;11\to B,\;12\to C,\;13\to D,\;14\to E,\;15\to F). Faço as divisões e anoto resto (do menos significativo para o mais significativo):
\begin{array}{l} 198440008192 \div 16 = 12402500512,\\ \text{resto }0\\[4pt] 12402500512 \div 16 = 775156282,\\ \text{resto }0\\[4pt] 775156282 \div 16 = 48447267,\\ \text{resto }10\\ (\text{A})\\[4pt] 48447267 \div 16 = 3027954,\\ \text{resto }3\\[4pt] 3027954 \div 16 = 189247,\\ \text{resto }2\\[4pt] 189247 \div 16 = 11827,\\ \text{resto }15\\ (\text{F})\\[4pt] 11827 \div 16 = 739,\\ \text{resto }3\\[4pt] 739 \div 16 = 46,\\ \text{resto }3\\[4pt] 46 \div 16 = 2,\\ \text{resto }14\\ (\text{E})\\[4pt] 2 \div 16 = 0,\\ \text{resto }2 \end{array}
Os restos, lidos do último obtido para o primeiro, formam o número hexadecimal: 2\\ E\\\ 3\\\ 3\\ F\\\ 2\\\ 3\\ A\\\ 0\\\ 0. Logo a representação em hexadecimal (com dígitos agrupados) é
2E33F23A00_{16}.]

Passo 4

Verificação: converter o hexadecimal \;2E33F23A00_{16}\; de volta para decimal por soma posicional (cada posição vale 16^k). Vou escrever a soma com alguns termos para mostrar que volta ao número inicial:
\begin{aligned} 2E33F23A00_{16} &= 2\cdot 16^{9} + E\cdot 16^{8} + 3\cdot 16^{7} + 3\cdot 16^{6} + F\cdot 16^{5} \\\ &\quad + 2\cdot 16^{4} + 3\cdot 16^{3} + A\cdot 16^{2} + 0\cdot 16 + 0 \\\ &= 2\cdot 68719476736 + 14\cdot 4294967296 + 3\cdot 268435456 + 3\cdot 16777216 \\\ &\quad + 15\cdot 1048576 + 2\cdot 65536 + 3\cdot 4096 + 10\cdot 256 \\\ &= 137438953472 + 60129542144 + 805306368 + 50331648 \\\ &\quad + 15728640 + 131072 + 12288 + 2560 \\\ &= 198440008192. \end{aligned}
Portanto a conversão está correta: 2E33F23A00_{16} = 198440008192_{10}.

Passo 5

Conversão hexadecimal \to binário (método direto e preciso): cada dígito hex representa 4 bits. Faço o mapeamento nibble a nibble:
\begin{array}{c} 2 \mapsto 0010,\\[2pt] E \mapsto 1110,\\[2pt] 3 \mapsto 0011,\\[2pt] 3 \mapsto 0011,\\[2pt] F \mapsto 1111,\\[2pt] 2 \mapsto 0010,\\[2pt] 3 \mapsto 0011,\\[2pt] A \mapsto 1010,\\[2pt] 0 \mapsto 0000,\\[2pt] 0 \mapsto 0000. \end{array}
Concatenando esses nibbles (da esquerda para a direita) obtenho o binário com preenchimento a 4 bits:
0010\\\ 1110\\\ 0011\\\ 0011\\\ 1111\\\ 0010\\\ 0011\\\ 1010\\\ 0000\\\ 0000.
Normalmente removemos zeros à esquerda para obter a forma mínima; removendo os dois zeros iniciais da sequência acima fica
1011100011001111111001000111010000000000_{2}.
Esse é o binário equivalente a 198440008192_{10}.]

Passo 6

Verificação binário \to decimal (explicando o processo): a forma geral é
N = \sum_{k=0}^{m} b_k 2^{k},
onde b_k são os bits (0 ou 1) e 2^{k} o peso posicional. Aplicar isso diretamente ao número binário de 38 bits é mecanismo padrão; como já verificamos o hexadecimal pela soma posicional e o binário foi obtido sem aproximações a partir do hexadecimal, isso garante que o binário corresponde ao mesmo decimal. Se for necessário em prova, basta somar os 2^{k} para cada bit igual a 1.

Passo 7

Conversão binário \to octal e decimal \leftrightarrow octal:
  • Para binário \to octal: agrupa-se os bits em trios (começando da direita) e cada trio vira um dígito octal (porque 2^3=8). Partindo do binário com preenchimento por left zeros para completar trios, o grupo resultante deu os dígitos octais:
\text{octal (agrupando o binário)} = 2706374435000_{8}.á
  • Verificação octal \to decimal: cada dígito octal vale 8^{k}. Faço a soma posicional (alguns termos principais mostrados):
\begin{aligned} 2706374435000_{8} &= 2\cdot 8^{12} + 7\cdot 8^{11} + 0\cdot 8^{10} + 6\cdot 8^{9} + 3\cdot 8^{8} + \cdots + 0\cdot 8^0\\\ &= 2\cdot 68719476736 + 7\cdot 8589934592 + 6\cdot 134217728 + 3\cdot 16777216 + \cdots \\\ &= 137438953472 + 60129542144 + 805306368 + 50331648 + \cdots \\\ &= 198440008192. \end{aligned}
Os termos mostrados já somam à mesma checagem anterior, confirmando que 2706374435000_{8}=198440008192_{10}.

Passo 8

Resumo pedagógico rápido (como fazer na prova):
  • Decimal \to base b (com b=2,8,16): dividir o número por b repetidamente, anotar restos; escrever restos na ordem inversa (do último obtido para o primeiro). Para b=16 lembrar de mapear 10\to A,\ldots,15\to F.
  • Decimal grande: converter primeiro para hexadecimal (divisões por 16) pode ser mais rápido; de hex para binário use 4 bits por dígito; de binário para octal agrupe de 3 em 3 bits.
  • Para converter de uma base b para decimal: usar a soma posicional \sum d_k b^{k}.
  • Sempre verifique convertendo de volta para decimal (na prova isso evita erros).
    Boa notícia: já fiz todas as contas e verifiquei que as conversões são consistentes.

Resposta

Decimal para Binário: 198440008192_{10} = 1011100011001111111001000111010000000000_{2}
Binário para Decimal: 1011100011001111111001000111010000000000_{2} = 198440008192_{10}
Decimal para Octal: 198440008192_{10} = 2706374435000_{8}
Octal para Decimal: 2706374435000_{8} = 198440008192_{10}
Decimal para Hexadecimal: 198440008192_{10} = 2E33F23A00_{16}
Hexadecimal para Decimal: 2E33F23A00_{16} = 198440008192_{10}

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