(FCMSC-SP) Se A, B e C são conjuntos tais que A \cap C=C e C \cap B \neq \emptyset, então julgue os itens a seguir:
() B \supset A
( ) A \cup B=B
( ) C \cap B \subset A
( ) B-C \subset A

Passo 1

O enunciado dá três conjuntos A,B,C com as condições
A \cap C = C \quad\text{e}\quad C \cap B \neq \emptyset.
Queremos julgar a veracidade de cada afirmação sobre inclusões entre esses conjuntos. Para isso vamos usar propriedades básicas de operações com conjuntos.

Passo 2

Da igualdade
A \cap C = C
seguimos que C \subset A. De fato, A\cap C sempre é um subconjunto de C, e se for exatamente igual a C, então todos os elementos de C estão em A.

Passo 3

Item 1: “ \,B \supset A.”
Isso equivale a dizer A\subset B. Não há nenhuma condição que ligue todos os elementos de A a B; só sabemos que um pedaço de A (o conjunto C) tem interseção não vazia com B.
Contraexemplo típico:
A=\{1,2\},\\ C=\{1\},\\ B=\{1,3\}.
Aqui A\cap C=C e C\cap B=\{1\}\neq\emptyset, mas 2\in A não está em B. Logo essa afirmação é falsa.

Passo 4

Item 2: “ \,A\cup B=B.”
Isso também exige A\subset B, pois A\cup B=B se e somente se todos os elementos de A já estão em B. Novamente, não temos essa informação geral, só que C\subset A e C\cap B\neq\emptyset. Portanto essa afirmação é falsa.

Passo 5

Item 3: “ \,C\cap B\subset A.”
Como C\subset A, qualquer elemento de C\cap B está em C e, portanto, também em A. Logo
C\cap B \subset C \subset A,
e essa afirmação é verdadeira.

Passo 6

Item 4: “ \,B-C\subset A.”
Aqui B-C = \{x\in B : x\notin C\}. Não há motivo para que elementos de B que não estão em C também estejam em A. No mesmo contraexemplo do passo 3, 3\in B\setminus C mas 3\notin A. Portanto a afirmação é falsa.

Resposta

( F ) B \supset A
( F ) A \cup B = B
( V ) C \cap B \subset A
( F ) B - C \subset A

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