1. (FEI-SP) Em uma década, a população de uma cidade aumentou 15 \%. Na década seguinte, a população da mesma cidade aumentou 20 \%, totalizando 96600 habitantes. A população da cidade no final da década anterior a essas duas décadas era de:
    a) 75000 habitantes.
    b) 80000 habitantes.
    c) 85000 habitantes.
    d) 82000 habitantes.
    e) 70000 habitantes.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A população aumentou 15\% em uma década.
  • Na década seguinte aumentou 20\%.
  • Ao final dessas duas décadas a população é 96600 habitantes.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a população da cidade no final da década anterior às duas décadas citadas (ou seja, a população antes de ambos os aumentos).

Passo 2

Entendendo percentuais como fatores multiplicativos (a ideia importante para a prova).
  • Um aumento de 15\% equivale a multiplicar por 1{,}15. Explicação: aumentar algo em 15\% é somar 15\% ao valor original, logo 100\% + 15\% = 115\% que, em fator, é 1{,}15.
  • Um aumento de 20\% equivale a multiplicar por 1{,}20.
    Importante: aumentos sucessivos não se somam diretamente (não é 15\%+20\%). Em vez disso, aplicam-se os fatores multiplicativos em sequência. Exemplo rápido e concreto: se começar com 100, depois de 15\% fica 100\cdot1{,}15=115; em seguida 20\% 115\cdot1{,}20=138. O fator total foi 1{,}15\cdot1{,}20=1{,}38.

Passo 3

Vamos modelar com uma variável:
  • Seja P_0 a população no final da década anterior (o que queremos achar).
  • Após o primeiro aumento de 15\% a população vira P_1 = P_0\cdot1{,}15.
  • Após o segundo aumento de 20\% a população final é
P_2 = P_1\cdot1{,}20 = P_0\cdot1{,}15\cdot1{,}20.
Multiplicando os fatores,
1{,}15\cdot1{,}20 = 1{,}38,
portanto
P_2 = P_0\cdot1{,}38.

Passo 4

Agora usamos o valor final fornecido P_2 = 96600 para calcular P_0:
P_0 = \frac{96600}{1{,}38}.
Para calcular sem calculadora, escrevemos 1{,}38=\dfrac{138}{100}, então
P_0 = 96600\cdot\frac{100}{138}=\frac{9\,660\,000}{138}.
Simplificando por 6:
\frac{9\,660\,000}{138}=\frac{1\,610\,000}{23}.
Agora dividimos 1\,610\,000 por 23. Observando que 23\cdot70\,000 = 1\,610\,000, segue que
P_0 = 70\,000.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom na prova): aplicar os aumentos em 70\,000.
  • Após 15\%: 70\,000\cdot1{,}15 = 80\,500.
  • Após 20\%: 80\,500\cdot1{,}20 = 96\,600, que confere com o enunciado.

Resposta

70000 habitantes.

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