1. (PUC-SP) Suponha que no século XVI, ( \mathrm{n}-23 ) anos antes do ano \mathrm{n}^{2}, Leonardo da Vinci pintou o famoso quadro Mona Lisa. Se Leonardo nasceu em 1452 e morreu em 1519, então quantos anos ele tinha ao pintar esse quadro?
    a) 59
    b) 56
    c) 55
    d) 53
    e) 51

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dito que, no século XVI, ou seja entre os anos \,1501 e \,1600, Leonardo pintou a Mona Lisa.
  • A pintura ocorreu (n-23) anos antes do ano \,n^2.
  • Leonardo nasceu em \,1452 e morreu em \,1519.
  • O que o problema pede: determinar quantos anos Leonardo tinha quando pintou a Mona Lisa (ou seja, a idade naquele ano).

Passo 2

Interpretação algébrica da frase “ (n-23) anos antes do ano \,n^2”.
  • Se um evento ocorre (n-23) anos antes do ano \,n^2, o ano do evento é
\text{ano\\ do\\ evento} = n^{2} - (n-23).
  • Simplificando essa expressão:
n^{2} - (n-23) = n^{2} - n + 23.
Portanto o ano em que a pintura foi feita é \,n^{2}-n+23.

Passo 3

Impor as restrições que o ano deve satisfazer.
  • O enunciado afirma que o evento aconteceu no século XVI; portanto o ano deve estar entre \,1501 e \,1600.
  • Além disso, como Leonardo viveu entre \,1452 e \,1519, o ano da pintura deve também estar entre \,1452 e \,1519.
  • Combinando as duas restrições, o ano do quadro deve estar entre \,1501 e \,1519 (ambos inclusive).

Passo 4

Procurar inteiros \,n tais que
1501 \le n^{2}-n+23 \le 1519.
Uma maneira prática é estimar \,n aproximando por \,n^{2}\approx 1500: \,n\approx\sqrt{1500}\approx 38{,}7. Então testar valores inteiros próximos: \,n=38,39,40.

Passo 5

Calcular a expressão para \,n=38,39,40.
  • Para \,n=38:
n^{2}-n+23 = 38^{2}-38+23 = 1444-38+23 = 1429,
que é menor que \,1501 (logo não serve).
  • Para \,n=39:
n^{2}-n+23 = 39^{2}-39+23 = 1521-39+23 = 1505,
que está entre \,1501 e \,1519 — ou seja, admissível.
  • Para \,n=40:
n^{2}-n+23 = 40^{2}-40+23 = 1600-40+23 = 1583,
que é maior que \,1519 (logo não serve).
Assim o único inteiro \,n que dá um ano válido no intervalo é \,n=39, produzindo o ano \,1505.

Passo 6

Calcular a idade de Leonardo em \,1505.
  • Idade = ano da pintura - ano de nascimento.
\text{idade} = 1505 - 1452 = 53.
  • Verificação rápida: \,1505 está entre \,1501 e \,1519, portanto é compatível com o século XVI e com a vida de Leonardo.

Resposta

d) 53

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