Quando um feixe de luz ultravioleta de 400 nm incide sobre a superfície de um certo metal, a energia cinética máxima medida para os fotoelétrons emitidos é 1,10 \mathrm{eV}.
Mostre que a função trabalho do material é 3,21 \times 10^{-19} \mathrm{~J} ou 2,0 \mathrm{eV}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado:
  • Dado: comprimento de onda do feixe ultravioleta \lambda = 400\\ \mathrm{nm}.
  • Dado: energia cinética máxima dos fotoelétrons K_{\max} = 1{,}10\\ \mathrm{eV}.
  • Pedido: mostrar que a função trabalho (work function) do metal vale \,3{,}21\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}\, ou \,2{,}0\\ \mathrm{eV}.

Passo 2

Apresentação da lei que vamos usar e explicação das variáveis (a “aula rápida” necessária):
  • A equação do efeito fotoelétrico de Einstein relaciona a energia do fóton, a função trabalho do metal e a energia cinética máxima dos elétrons:
E_{\text{fóton}} = \Phi + K_{\max}.ó
Aqui:
  • E_{\text{fóton}}ó é a energia de um fóton (em joules).
  • \Phi é a função trabalho do material (em joules).
  • K_{\max} é a energia cinética máxima dos fotoelétrons (em joules).
  • A energia de um fóton com comprimento de onda \lambda é dada por
E_{\text{fóton}} = \frac{hc}{\lambda},ó
onde h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz.
  • Valores numéricos que vou usar (valores usuais arredondados o suficiente para a prova):
    • h = 6{,}626\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
    • c = 3{,}00\times 10^{8}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
    • Conversão energia: 1\\ \mathrm{eV} = 1{,}602\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Converter o comprimento de onda para metros e calcular a energia do fóton em joules:
  • Converter \lambda:
\lambda = 400\\ \mathrm{nm} = 400\times 10^{-9}\\ \mathrm{m} = 4{,}00\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular \;E_{\text{fóton}}=\dfrac{hc}{\lambda}ó:
E_{\text{fóton}} = \frac{(6{,}626\times 10^{-34})(3{,}00\times 10^{8})}{4{,}00\times 10^{-7}}.ó
Fazendo as contas passo a passo:
(6{,}626\times 10^{-34})(3{,}00\times 10^{8}) = 1{,}9878\times 10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m},
E_{\text{fóton}} = \frac{1{,}9878\times 10^{-25}}{4{,}00\times 10^{-7}} = 4{,}9695\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.ó
(Arredondando conforme precisão necessária, \;E_{\text{fóton}}\approx 4{,}97\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}ó.)

Passo 4

Converter a energia cinética máxima dada em electron-volts para joules:
  • Dado K_{\max} = 1{,}10\\ \mathrm{eV}.
K_{\max} = 1{,}10\times (1{,}602\times 10^{-19})\\ \mathrm{J} = 1{,}7622\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Determinar a função trabalho \Phi em joules usando \Phi = E_{\text{fóton}} - K_{\max}ó:
\Phi = 4{,}9695\times 10^{-19}\\ \mathrm{J} - 1{,}7622\times 10^{-19}\\ \mathrm{J} = 3{,}2073\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Arredondando adequadamente para duas casas significativas (compatível com os dados), obtemos
\Phi \approx 3{,}21\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Converter \Phi para electron-volts:
\Phi_{\mathrm{(eV)}} = \frac{\Phi_{\mathrm{(J)}}}{1{,}602\times 10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}} = \frac{3{,}2073\times 10^{-19}}{1{,}602\times 10^{-19}} \approx 2{,}002\\ \mathrm{eV}.
Arredondando conforme precisão dos dados:
\Phi \approx 2{,}0\\ \mathrm{eV}.

Passo 7

Comentário final e verificação (rápida e motivadora):
  • Resumindo: o fóton de 400\\ \mathrm{nm} traz energia que, depois de subtrair os 1{,}10\\ \mathrm{eV} gastos como energia cinética, deixa uma função trabalho de aproximadamente \,3{,}21\times 10^{-19}\\ \mathrm{J} ou \,2{,}0\\ \mathrm{eV}.
  • Está tudo coerente: a conta é direta e dá exatamente os valores pedidos quando usamos os mesmos arredondamentos usuais. Vai dar certo na prova — respira e confia!

Resposta

3{,}21\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}
2{,}0\\ \mathrm{eV}

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