Quando um feixe monocromático de raios X incide em um certo cristal de NaCl, uma difração de Bragg de primeira ordem (isto é, com n=1 ) é observada para \theta=20^{\circ}. O valor da distância interplanar é d=0,28 \mathrm{~nm}. Determine a diferença de potencial mínima, Vo, de operação do aparelho de raios-X usado no experimento.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a diferença de potencial mínima V_0 do aparelho de raios‑X usada no experimento, dado que:
  • foi observada uma difração de Bragg de primeira ordem ( n=1) para o ângulo \theta=20^\circ;
  • a distância interplanar é d=0{,}28\\ \text{nm}.
Pergunta: qual é o valor mínimo de V_0 (em volts) necessário para produzir fótons de raios‑X com o comprimento de onda que gera essa difração?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Lei de Bragg: para difração construtiva em um cristal, os máximos satisfazem
n\lambda = 2d\sin\theta,
onde n é a ordem (aqui n=1), \lambda é o comprimento de onda da radiação incidente, d é a distância entre planos cristalinos e \theta é o ângulo de incidência relativo ao plano.
  • Relação entre energia do fóton e comprimento de onda: a energia de um fóton é
E = \frac{hc}{\lambda},
onde h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz.
  • Em um tubo de raios‑X, o máximo de energia que um elétron acelerado por uma diferença de potencial V_0 pode transferir a um fóton é E_{\max}=eV_0, onde e é a carga elementar. Assim, para gerar fótons com comprimento de onda \lambda é necessário ao menos
eV_0 \ge \frac{hc}{\lambda}\quad\Rightarrow\quad V_0 \ge \frac{hc}{e\lambda}.
Portanto o menor V_0 possível (diferença de potencial mínima que permite produzir fótons com \lambda) é
V_0 = \frac{hc}{e\lambda}.
Constantes que usarei (valores em SI):
h = 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \text{J\,s},\qquad c = 2{,}99792458\times10^{8}\\ \text{m/s},\qquad e = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \text{C}.

Passo 3

Calcular o comprimento de onda \lambda a partir da lei de Bragg. Usando n=1,
\lambda = \frac{2d\sin\theta}{n}=2d\sin\theta.
Primeiro converto d para metros:
d = 0{,}28\\ \text{nm} = 0{,}28\times10^{-9}\\ \text{m}=2{,}8\times10^{-10}\\ \text{m}.
Calculo \sin20^\circ. Aproximação útil sem calculadora (ou com calculadora): \sin20^\circ \approx 0{,}3420.
Agora calculo \lambda:
\lambda = 2\cdot(2{,}8\times10^{-10})\cdot(0{,}3420).
Faço as contas passo a passo:
2\cdot(2{,}8\times10^{-10}) = 5{,}6\times10^{-10},
5{,}6\times10^{-10}\cdot0{,}3420 = 1{,}9152\times10^{-10}\\ \text{m}.
Portanto
\lambda \approx 1{,}915\times10^{-10}\\ \text{m} \quad(\text{ou }0{,}1915\\ \text{nm}).

Passo 4

Agora uso a relação entre V_0 e \lambda:
V_0 = \frac{hc}{e\lambda}.
É conveniente calcular o coeficiente hc/e primeiro:
\frac{hc}{e} = \frac{(6{,}62607015\times10^{-34})(2{,}99792458\times10^{8})}{1{,}602176634\times10^{-19}}.
Calculo numérico (mostrando os passos):
hc = 6{,}62607015\times10^{-34}\times2{,}99792458\times10^{8} = 1{,}98644586\times10^{-25}\\ \text{J\,m},
\frac{hc}{e} = \frac{1{,}98644586\times10^{-25}}{1{,}602176634\times10^{-19}} \approx 1{,}23984198\times10^{-6}\\ \text{V\,m}.

Passo 5

Divido por \lambda para obter V_0:
V_0 = \frac{1{,}23984198\times10^{-6}}{1{,}9152\times10^{-10}}\\ \text{V}.
Faço a divisão:
V_0 \approx 6{,}475\times10^{3}\\ \text{V}.
Arredondando com números significativos razoáveis (3 algarismos significativos), fica
V_0 \approx 6{,}48\times10^{3}\\ \text{V} = 6{,}48\\ \text{kV}.

Resposta

\;V_0 \approx 6{,}48\\ \text{kV}

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