A radiação de corpo negro foi um dos grandes problemas da Física clássica no final do século XIX, resolvido com a introdução da quantização da energia por Planck. Essa solução influenciou no nascimento da Física Quântica.
(a) Explique por que a teoria clássica falha ao descrever a radiação emitida por um corpo negro em altas frequências (o chamado “caos ultravioleta”).
(b) Descreva a hipótese fundamental introduzida por Planck para resolver o problema.
(c) Qual é o comprimento de onda no qual ocorre o pico de emissão da radiação de corpo negro para um ser humano com temperatura corporal média de 37°C? Indique também a região do espectro eletromagnético correspondente.
(a) Explique por que a teoria clássica falha ao descrever a radiação emitida por um corpo negro em altas frequências (o chamado “caos ultravioleta”).
(b) Descreva a hipótese fundamental introduzida por Planck para resolver o problema.
(c) Qual é o comprimento de onda no qual ocorre o pico de emissão da radiação de corpo negro para um ser humano com temperatura corporal média de 37°C? Indique também a região do espectro eletromagnético correspondente.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele fornece.
-
O enunciado pede três coisas:
(a) explicar por que a teoria clássica falha ao descrever a radiação de corpo negro em altas frequências (o “caos ultravioleta”);
(b) descrever a hipótese fundamental que Planck introduziu para resolver o problema;
(c) calcular o comprimento de onda de pico da radiação de corpo negro para um ser humano com temperatura média dee indicar a região do espectro eletromagnético correspondente. -
Informação numérica fornecida:
- Temperatura do corpo humano:
. (Na resolução vou converter para kelvin.)
- Temperatura do corpo humano:
Passo 2
Por que a teoria clássica falha — derivação simples da previsão clássica e onde ela quebra.
-
Ideia física clássica usada na época:
- Um corpo negro pode ser pensado como uma cavidade que contém ondas eletromagnéticas estacionárias (módos). Cada modo de frequência
é tratado como um grau de liberdade oscilatório. - Segundo o teorema da equipartição da energia (mecânica clássica), cada grau de liberdade em equilíbrio térmico tem, em média, energia
, onde é a constante de Boltzmann. Aqui .
- Um corpo negro pode ser pensado como uma cavidade que contém ondas eletromagnéticas estacionárias (módos). Cada modo de frequência
-
Quantidade de modos por intervalo de frequência:
- A densidade espectral de modos (número de modos por unidade de volume por intervalo de frequência
) para o campo eletromagnético é proporcional a . O resultado é que o número de modos por volume em é
ondeé a velocidade da luz. - A densidade espectral de modos (número de modos por unidade de volume por intervalo de frequência
-
Energia prevista pela teoria clássica (lei de Rayleigh–Jeans):
- Se cada modo carrega energia média
, então a densidade de energia (energia por unidade de volume) na faixa é
- Observe que
cresce como quando aumenta.
- Se cada modo carrega energia média
-
O problema (o “caos ultravioleta”):
- Se integrarmos a energia total sobre todas as frequências, obtemos
- Conclusão: a teoria clássica prevê energia infinita irradiada por um corpo negro — isso é fisicamente absurdo e contradiz experimentos, que mostram uma energia finita e um pico na distribuição. Essa divergência em altas frequências é o chamado problema do ultravioleta.
-
Intuição simples:
- O erro clássico está em assumir que modos de frequência arbitrariamente alta têm a mesma média
. Na prática, modos de frequência muito alta parecem “custar mais energia” para serem excitados, algo que a física clássica não capturava.
- O erro clássico está em assumir que modos de frequência arbitrariamente alta têm a mesma média
Passo 3
A hipótese de Planck e como ela resolve o problema (passo a passo e com a conta do valor médio de energia por oscilador).
-
Hipótese fundamental de Planck (resposta à parte b, mas explicada detalhadamente aqui):
- Planck propôs que os osciladores que trocam energia com o campo eletromagnético só podem trocar energia em “pacotes” discretos (quanta) de tamanho
, onde é a constante de Planck ( ) e é a frequência do modo. Ou seja, a energia dos osciladores é quantizada em níveis com . - Isso significa que um oscilador de frequência
não pode ter um valor de energia arbitrário, e sim múltiplos inteiros de .
- Planck propôs que os osciladores que trocam energia com o campo eletromagnético só podem trocar energia em “pacotes” discretos (quanta) de tamanho
-
Cálculo da energia média por oscilador usando estatística de Boltzmann:
- Probabilidade de um oscilador estar no nível
é proporcional a . - A energia média é
- As somas geométricas podem ser avaliadas (série geométrica); o resultado conhecido é
- Interpretação das variáveis:
é a energia média do oscilador na frequência , é a constante de Boltzmann, a temperatura absoluta.
- Probabilidade de um oscilador estar no nível
-
Lei de Planck para a densidade espectral de energia:
- Multiplicando a energia média por oscilador pela densidade de modos
obtemos a densidade espectral correta
- Essa é a famosa lei de Planck. Aqui:
-
é a energia por unidade de volume por unidade de frequência; -
é a constante de Planck; -
é a constante de Boltzmann; -
é a velocidade da luz; -
é a frequência.
-
- Multiplicando a energia média por oscilador pela densidade de modos
-
Como isso resolve o ultravioleta:
- Para frequências altas (
) o denominador cresce exponencialmente, o que faz decair exponencialmente quando . Assim a integral sobre todas as frequências é finita — o problema da previsão de energia infinita desaparece. - No limite de baixas frequências (
), expandindo com , a fórmula de Planck reduz-se à lei clássica de Rayleigh–Jeans, como deve ser (continuidade com a física clássica no regime apropriado).
- Para frequências altas (
Passo 4
Cálculo do comprimento de onda de pico para
usando a lei do deslocamento de Wien.
-
Lei do deslocamento de Wien:
- A lei de Wien diz que o comprimento de onda
em que a emissão espectral por unidade de comprimento de onda é máxima satisfaz
ondeé a constante de deslocamento de Wien. - Valor prático:
.
- A lei de Wien diz que o comprimento de onda
-
Converter a temperatura para kelvin:
-
Calcular
: Faça a divisão:- Em unidades mais familiares:
(micrômetros).
- Em unidades mais familiares:
-
Região do espectro:
- Um comprimento de onda de
está na região do infravermelho médio (infravermelho térmico). É por isso que câmeras térmicas sensíveis na faixa de alguns micrômetros detectam bem o calor do corpo humano.
- Um comprimento de onda de
Passo 5
Resumo físico e comentário motivador (por que isso foi importante e como usar esse conhecimento na prova).
-
Resumo do ponto (a) e (b) de forma curta e direta:
- A teoria clássica falha porque ela atribui a cada modo de frequência a mesma energia média
e a densidade de modos cresce com , levando a uma energia total infinita quando se integra sobre todas as frequências (ultravioleta catastroph). - Planck resolveu o problema propondo que a troca de energia entre átomos/oscilladores e o campo é quantizada: níveis de energia
. Com isso a energia média por modo passa a ser e a distribuição espectral passa a decair exponencialmente em altas frequências, resolvendo a divergência.
- A teoria clássica falha porque ela atribui a cada modo de frequência a mesma energia média
-
Dica prática para a prova:
- Se pedirem a forma da lei de Planck, escreva a expressão para
e explique que o termo exponencial no denominador é que “corta” as altas frequências. - Para comprimento de onda de pico de um corpo quente use a lei de Wien
— é a forma mais direta e rápida para (c).
- Se pedirem a forma da lei de Planck, escreva a expressão para
-
Ânimo: esse tema é um dos marcos da física — entender esses passos (equipartição → falha → quantização de Planck → lei de Planck → lei de Wien) é exatamente o mapa que costumam pedir em provas. Vai dar certo se você memorizar as expressões-chave e praticar um ou dois cálculos como o do item (c).
Resposta
(a) A teoria clássica (equipartição + densidade de modos
) prevê
, cuja integral em
diverge, levando à energia total infinita (o “caos ultravioleta”).
(b) Planck postulou que os osciladores trocam energia em quanta ; a energia média por modo passa a ser
, levando à lei de Planck
, que elimina a divergência.
(c) Para , pela lei de Wien
com
:
. Região: infravermelho médio (infravermelho térmico).
(b) Planck postulou que os osciladores trocam energia em quanta
(c) Para