A radiação de corpo negro foi um dos grandes problemas da Física clássica no final do século XIX, resolvido com a introdução da quantização da energia por Planck. Essa solução influenciou no nascimento da Física Quântica.
(a) Explique por que a teoria clássica falha ao descrever a radiação emitida por um corpo negro em altas frequências (o chamado “caos ultravioleta”).
(b) Descreva a hipótese fundamental introduzida por Planck para resolver o problema.
(c) Qual é o comprimento de onda no qual ocorre o pico de emissão da radiação de corpo negro para um ser humano com temperatura corporal média de 37°C? Indique também a região do espectro eletromagnético correspondente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele fornece.
  • O enunciado pede três coisas:
    (a) explicar por que a teoria clássica falha ao descrever a radiação de corpo negro em altas frequências (o “caos ultravioleta”);
    (b) descrever a hipótese fundamental que Planck introduziu para resolver o problema;
    (c) calcular o comprimento de onda de pico da radiação de corpo negro para um ser humano com temperatura média de 37^\circ\mathrm{C} e indicar a região do espectro eletromagnético correspondente.
  • Informação numérica fornecida:
    • Temperatura do corpo humano: 37^\circ\mathrm{C}. (Na resolução vou converter para kelvin.)

Passo 2

Por que a teoria clássica falha — derivação simples da previsão clássica e onde ela quebra.
  • Ideia física clássica usada na época:
    • Um corpo negro pode ser pensado como uma cavidade que contém ondas eletromagnéticas estacionárias (módos). Cada modo de frequência \nu é tratado como um grau de liberdade oscilatório.
    • Segundo o teorema da equipartição da energia (mecânica clássica), cada grau de liberdade em equilíbrio térmico tem, em média, energia kT, onde k é a constante de Boltzmann. Aqui k \approx 1,381\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
  • Quantidade de modos por intervalo de frequência:
    • A densidade espectral de modos (número de modos por unidade de volume por intervalo de frequência d\nu) para o campo eletromagnético é proporcional a \nu^2. O resultado é que o número de modos por volume em [\nu,\nu+d\nu] é
    \frac{8\pi \nu^2}{c^3}\,d\nu,
    onde c é a velocidade da luz.
  • Energia prevista pela teoria clássica (lei de Rayleigh–Jeans):
    • Se cada modo carrega energia média kT, então a densidade de energia (energia por unidade de volume) na faixa [\nu,\nu+d\nu] é
    u_{\text{clássica}}(\nu)\,d\nu = \frac{8\pi \nu^2}{c^3}\,kT\,d\nu.á
    • Observe que u_{\text{clássica}}(\nu)á cresce como \nu^2 quando \nu aumenta.
  • O problema (o “caos ultravioleta”):
    • Se integrarmos a energia total sobre todas as frequências, obtemos
    \int_0^\infty u_{\text{clássica}}(\nu)\,d\nu \propto \int_0^\infty \nu^2\,d\nu = \infty.á
    • Conclusão: a teoria clássica prevê energia infinita irradiada por um corpo negro — isso é fisicamente absurdo e contradiz experimentos, que mostram uma energia finita e um pico na distribuição. Essa divergência em altas frequências é o chamado problema do ultravioleta.
  • Intuição simples:
    • O erro clássico está em assumir que modos de frequência arbitrariamente alta têm a mesma média kT. Na prática, modos de frequência muito alta parecem “custar mais energia” para serem excitados, algo que a física clássica não capturava.

Passo 3

A hipótese de Planck e como ela resolve o problema (passo a passo e com a conta do valor médio de energia por oscilador).
  • Hipótese fundamental de Planck (resposta à parte b, mas explicada detalhadamente aqui):
    • Planck propôs que os osciladores que trocam energia com o campo eletromagnético só podem trocar energia em “pacotes” discretos (quanta) de tamanho h\nu, onde h é a constante de Planck ( h \approx 6,626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}) e \nu é a frequência do modo. Ou seja, a energia dos osciladores é quantizada em níveis E_n = n h\nu com n=0,1,2,\dots.
    • Isso significa que um oscilador de frequência \nu não pode ter um valor de energia arbitrário, e sim múltiplos inteiros de h\nu.
  • Cálculo da energia média por oscilador usando estatística de Boltzmann:
    • Probabilidade de um oscilador estar no nível n é proporcional a e^{-E_n/(kT)} = e^{- n h\nu/(kT)}.
    • A energia média é
    \langle E\rangle = \frac{\sum_{n=0}^{\infty} n h\nu\, e^{-n h\nu/(kT)}}{\sum_{n=0}^{\infty} e^{-n h\nu/(kT)}}.
    • As somas geométricas podem ser avaliadas (série geométrica); o resultado conhecido é
    \langle E\rangle = \frac{h\nu}{e^{h\nu/(kT)}-1}.
    • Interpretação das variáveis: \langle E\rangle é a energia média do oscilador na frequência \nu, k é a constante de Boltzmann, T a temperatura absoluta.
  • Lei de Planck para a densidade espectral de energia:
    • Multiplicando a energia média por oscilador pela densidade de modos \frac{8\pi \nu^2}{c^3} obtemos a densidade espectral correta
    u_{\text{Planck}}(\nu)\,d\nu = \frac{8\pi \nu^2}{c^3}\,\frac{h\nu}{e^{h\nu/(kT)}-1}\,d\nu.
    • Essa é a famosa lei de Planck. Aqui:
      • u_{\text{Planck}}(\nu) é a energia por unidade de volume por unidade de frequência;
      • h é a constante de Planck;
      • k é a constante de Boltzmann;
      • c é a velocidade da luz;
      • \nu é a frequência.
  • Como isso resolve o ultravioleta:
    • Para frequências altas ( h\nu \gg kT) o denominador e^{h\nu/(kT)}-1 cresce exponencialmente, o que faz u_{\text{Planck}}(\nu) decair exponencialmente quando \nu\to\infty. Assim a integral sobre todas as frequências é finita — o problema da previsão de energia infinita desaparece.
    • No limite de baixas frequências ( h\nu \ll kT), expandindo e^{x}-1 \approx x com x=h\nu/(kT), a fórmula de Planck reduz-se à lei clássica de Rayleigh–Jeans, como deve ser (continuidade com a física clássica no regime apropriado).

Passo 4

Cálculo do comprimento de onda de pico para 37^\circ\mathrm{C} usando a lei do deslocamento de Wien.
  • Lei do deslocamento de Wien:
    • A lei de Wien diz que o comprimento de onda \lambda_{\max} em que a emissão espectral por unidade de comprimento de onda é máxima satisfaz
    \lambda_{\max}\,T = b,
    onde b é a constante de deslocamento de Wien.
    • Valor prático: b \approx 2,897\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}.
  • Converter a temperatura para kelvin:
    T = 37^\circ\mathrm{C} = 37 + 273,15 = 310,15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular \lambda_{\max}:
    \lambda_{\max} = \frac{b}{T} = \frac{2,897\times10^{-3}}{310,15} \\ \mathrm{m}.
    Faça a divisão:
    \lambda_{\max} \approx 9,34\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
    • Em unidades mais familiares: \lambda_{\max} \approx 9,34\\ \mu\mathrm{m} (micrômetros).
  • Região do espectro:
    • Um comprimento de onda de \sim 9{,}3\\ \mu\mathrm{m} está na região do infravermelho médio (infravermelho térmico). É por isso que câmeras térmicas sensíveis na faixa de alguns micrômetros detectam bem o calor do corpo humano.

Passo 5

Resumo físico e comentário motivador (por que isso foi importante e como usar esse conhecimento na prova).
  • Resumo do ponto (a) e (b) de forma curta e direta:
    • A teoria clássica falha porque ela atribui a cada modo de frequência a mesma energia média kT e a densidade de modos cresce com \nu^2, levando a uma energia total infinita quando se integra sobre todas as frequências (ultravioleta catastroph).
    • Planck resolveu o problema propondo que a troca de energia entre átomos/oscilladores e o campo é quantizada: níveis de energia E_n = n h\nu. Com isso a energia média por modo passa a ser \langle E\rangle=\dfrac{h\nu}{e^{h\nu/(kT)}-1} e a distribuição espectral passa a decair exponencialmente em altas frequências, resolvendo a divergência.
  • Dica prática para a prova:
    • Se pedirem a forma da lei de Planck, escreva a expressão para u_{\text{Planck}}(\nu) e explique que o termo exponencial no denominador é que “corta” as altas frequências.
    • Para comprimento de onda de pico de um corpo quente use a lei de Wien \lambda_{\max}T=b — é a forma mais direta e rápida para (c).
  • Ânimo: esse tema é um dos marcos da física — entender esses passos (equipartição → falha → quantização de Planck → lei de Planck → lei de Wien) é exatamente o mapa que costumam pedir em provas. Vai dar certo se você memorizar as expressões-chave e praticar um ou dois cálculos como o do item (c).

Resposta

(a) A teoria clássica (equipartição + densidade de modos \propto \nu^2) prevê
\displaystyle u_{\text{clássica}}(\nu)\propto \nu^2 kTá, cuja integral em \nu diverge, levando à energia total infinita (o “caos ultravioleta”).
(b) Planck postulou que os osciladores trocam energia em quanta E_n=n h\nu; a energia média por modo passa a ser \displaystyle \langle E\rangle=\frac{h\nu}{e^{h\nu/(kT)}-1}, levando à lei de Planck \displaystyle u(\nu)=\frac{8\pi \nu^2}{c^3}\frac{h\nu}{e^{h\nu/(kT)}-1}, que elimina a divergência.
(c) Para T=37^\circ\mathrm{C}=310,15\\ \mathrm{K}, pela lei de Wien \lambda_{\max}=\dfrac{b}{T} com b=2{,}897\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}:
\displaystyle \lambda_{\max}\approx 9{,}34\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=9{,}34\\ \mu\mathrm{m}. Região: infravermelho médio (infravermelho térmico).

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