Um feixe de raio x de comprimento de onda de 120 pm sofre espalhamento Compton.
(a) Encontre o comprimento de onda dos fótons espalhados nos ângulos
e
.
(b) Encontre a energia dos elétrons em cada caso.
© Em qual dos ângulos de espalhamento o elétron tem maior energia? Este resultado poderia ter sido obtido sem cálculos?
Solução:
(a) Encontre o comprimento de onda dos fótons espalhados nos ângulos
(b) Encontre a energia dos elétrons em cada caso.
© Em qual dos ângulos de espalhamento o elétron tem maior energia? Este resultado poderia ter sido obtido sem cálculos?
Solução:
|
0 | 30 | 60 | 90 | 120 | 150 | 180 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
|
120 | 120,3 | 121,2 | 122,4 | 123,6 | 124,5 | 124,8 |
|
0 | 27,9 | 104 | 205 | 305 | 376 | 402 |
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício sobre Espalhamento Compton. A gente tem um feixe de raios X com comprimento de onda de 120 pm que sofre espalhamento Compton. Precisamos encontrar:
a) O comprimento de onda dos fótons espalhados para os ângulos de 30°, 60°, 90°, 120° e 150°.
b) A energia dos elétrons resultantes em cada caso.
c) Descobrir em qual ângulo o elétron ganha mais energia e se dá para saber isso sem fazer cálculos.
Pra resolver, vamos usar a fórmula de Compton, que relaciona o comprimento de onda inicial, o ângulo de espalhamento e a mudança no comprimento de onda. Também vamos usar a relação entre energia e comprimento de onda dos fótons para achar a energia dos elétrons.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula de Compton:
Aqui:
-
é o comprimento de onda inicial (120 pm) -
é o comprimento de onda final (após o espalhamento) -
é a constante de Planck ( ) -
é a massa do elétron ( ) -
é a velocidade da luz ( ) -
é o ângulo de espalhamento
A constante
é conhecida como comprimento de onda de Compton e vale aproximadamente 2,43 pm.
Passo 3
Vamos calcular
para cada ângulo dado usando a fórmula de Compton:
Depois, somamos
ao comprimento de onda inicial
para encontrar
:
Vamos calcular para cada ângulo:
- 30°
- 60°
- 90°
- 120°
- 150°
Passo 4
Vamos calcular
para cada ângulo:
-
θ = 30°
-
θ = 60°
-
θ = 90°
-
θ = 120°
-
θ = 150°
Passo 5
Agora, para encontrar a energia dos elétrons, vamos usar a relação entre energia e comprimento de onda dos fótons:
Onde:
-
é a energia -
é a constante de Planck -
é a velocidade da luz -
é o comprimento de onda
Sabemos que a energia inicial do fóton (
) é:
Convertendo para elétron-volts (1 eV =
J):
A energia do fóton espalhado (
) para cada
é:
A energia do elétron (
) é a diferença:
Vamos calcular
e
para cada ângulo.
Passo 6
Vamos calcular
e
para cada
:
-
θ = 30°, λ’ ≈ 120,325 pm
-
θ = 60°, λ’ ≈ 121,215 pm
-
θ = 90°, λ’ ≈ 122,43 pm
-
θ = 120°, λ’ ≈ 123,645 pm
-
θ = 150°, λ’ ≈ 124,537 pm
Passo 7
Para a parte c), queremos saber em qual ângulo o elétron ganha mais energia. Observando os cálculos:
- θ = 150° resulta em 376 eV
- Outros ângulos dão menos energia
Então, o elétron tem a maior energia quando o ângulo de espalhamento é 150°.
Sim, poderíamos ter antecipado isso sem cálculos! Na fórmula de Compton, a mudança no comprimento de onda aumenta conforme o ângulo
aumenta, alcançando o máximo em
. Como a energia do elétron é a diferença entre a energia inicial e final do fóton, quanto maior a mudança no comprimento de onda (ou seja, maior
), menor a energia do fóton final e, portanto, maior a energia do elétron.
Resposta
a) Os comprimentos de onda dos fótons espalhados são aproximadamente:
- 30°: 120,3 pm
- 60°: 121,2 pm
- 90°: 122,4 pm
- 120°: 123,6 pm
- 150°: 124,5 pm
b) As energias dos elétrons resultantes são aproximadamente:
- 30°: 27,9 eV
- 60°: 104 eV
- 90°: 205 eV
- 120°: 305 eV
- 150°: 376 eV
c) O elétron tem a maior energia quando o ângulo de espalhamento é 150°. Esse resultado poderia ter sido identificado sem cálculos, sabendo que a energia do elétron aumenta com o aumento do ângulo de espalhamento.