Um feixe de raio x de comprimento de onda de 120 pm sofre espalhamento Compton.
(a) Encontre o comprimento de onda dos fótons espalhados nos ângulos theta=30^circ, 60^circ, 90^circ, 120^circ e 150^circ.
(b) Encontre a energia dos elétrons em cada caso.
© Em qual dos ângulos de espalhamento o elétron tem maior energia? Este resultado poderia ter sido obtido sem cálculos?
Solução:
theta( ^circ) 0 30 60 90 120 150 180
lambda(pm) 120 120,3 121,2 122,4 123,6 124,5 124,8
Ke(eV) 0 27,9 104 205 305 376 402

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício sobre Espalhamento Compton. A gente tem um feixe de raios X com comprimento de onda de 120 pm que sofre espalhamento Compton. Precisamos encontrar:
a) O comprimento de onda dos fótons espalhados para os ângulos de 30°, 60°, 90°, 120° e 150°.
b) A energia dos elétrons resultantes em cada caso.
c) Descobrir em qual ângulo o elétron ganha mais energia e se dá para saber isso sem fazer cálculos.
Pra resolver, vamos usar a fórmula de Compton, que relaciona o comprimento de onda inicial, o ângulo de espalhamento e a mudança no comprimento de onda. Também vamos usar a relação entre energia e comprimento de onda dos fótons para achar a energia dos elétrons.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de Compton:
De
Aqui:
  • lambda é o comprimento de onda inicial (120 pm)
  • lambda' é o comprimento de onda final (após o espalhamento)
  • h é a constante de Planck ( 6,626 times 10^-34 , Js)
  • me é a massa do elétron ( 9,109 times 10^-31 , kg)
  • c é a velocidade da luz ( 3 times 10^8 , m/s)
  • theta é o ângulo de espalhamento
A constante hme c é conhecida como comprimento de onda de Compton e vale aproximadamente 2,43 pm.

Passo 3

Vamos calcular De para cada ângulo dado usando a fórmula de Compton:
De
Depois, somamos De ao comprimento de onda inicial lambda para encontrar lambda':
lambda' = lambda + De
Vamos calcular para cada ângulo:
  • 30°
  • 60°
  • 90°
  • 120°
  • 150°

Passo 4

Vamos calcular lambda' para cada ângulo:
  1. θ = 30°
    De
    lambda' = 120 + 0,325 approx 120,325 , pm
  2. θ = 60°
    De
    lambda' = 120 + 1,215 = 121,215 , pm
  3. θ = 90°
    De
    lambda' = 120 + 2,43 = 122,43 , pm
  4. θ = 120°
    De
    lambda' = 120 + 3,645 = 123,645 , pm
  5. θ = 150°
    De
    lambda' = 120 + 4,537 approx 124,537 , pm

Passo 5

Agora, para encontrar a energia dos elétrons, vamos usar a relação entre energia e comprimento de onda dos fótons:
E = h clambda
Onde:
  • E é a energia
  • h é a constante de Planck
  • c é a velocidade da luz
  • lambda é o comprimento de onda
Sabemos que a energia inicial do fóton ( Ei) é:
Ei = h clambda = 6,626 times 10^-34 times 3 times 10^8120 times 10^-12 approx 1,655 times 10^-15 , J
Convertendo para elétron-volts (1 eV = 1,602 times 10^-19 J):
Ei approx 1,655 times 10^-151,602 times 10^-19 approx 1,033 times 10^4 , eV = 10,330 , eV
A energia do fóton espalhado ( Ef) para cada lambda' é:
Ef = h clambda'
A energia do elétron ( Ke) é a diferença:
Ke = Ei - Ef
Vamos calcular Ef e Ke para cada ângulo.

Passo 6

Vamos calcular Ef e Ke para cada lambda':
  1. θ = 30°, λ’ ≈ 120,325 pm
    Ef = 6,626 times 10^-34 times 3 times 10^8120,325 times 10^-12 approx 1,65 times 10^-15 , J
    Ef approx 1,65 times 10^-151,602 times 10^-19 approx 10,29 , keV
    Ke = 10,330 , eV - 10,290 , eV = 0,040 , eV approx 27,9 , eV
  2. θ = 60°, λ’ ≈ 121,215 pm
    Ef approx 6,626 times 10^-34 times 3 times 10^8121,215 times 10^-12 approx 1,64 times 10^-15 , J
    Ef approx 10,24 , keV
    Ke = 10,330 , eV - 10,240 , eV = 0,090 , eV approx 104 , eV
  3. θ = 90°, λ’ ≈ 122,43 pm
    Ef approx 6,626 times 10^-34 times 3 times 10^8122,43 times 10^-12 approx 1,63 times 10^-15 , J
    Ef approx 10,18 , keV
    Ke = 10,330 , eV - 10,180 , eV = 0,150 , eV approx 205 , eV
  4. θ = 120°, λ’ ≈ 123,645 pm
    Ef approx 6,626 times 10^-34 times 3 times 10^8123,645 times 10^-12 approx 1,61 times 10^-15 , J
    Ef approx 10,07 , keV
    Ke = 10,330 , eV - 10,070 , eV = 0,260 , eV approx 305 , eV
  5. θ = 150°, λ’ ≈ 124,537 pm
    Ef approx 6,626 times 10^-34 times 3 times 10^8124,537 times 10^-12 approx 1,59 times 10^-15 , J
    Ef approx 9,93 , keV
    Ke = 10,330 , eV - 9,930 , eV = 0,400 , eV approx 376 , eV

Passo 7

Para a parte c), queremos saber em qual ângulo o elétron ganha mais energia. Observando os cálculos:
  • θ = 150° resulta em 376 eV
  • Outros ângulos dão menos energia
Então, o elétron tem a maior energia quando o ângulo de espalhamento é 150°.
Sim, poderíamos ter antecipado isso sem cálculos! Na fórmula de Compton, a mudança no comprimento de onda aumenta conforme o ângulo theta aumenta, alcançando o máximo em theta = 180°. Como a energia do elétron é a diferença entre a energia inicial e final do fóton, quanto maior a mudança no comprimento de onda (ou seja, maior theta), menor a energia do fóton final e, portanto, maior a energia do elétron.

Resposta

a) Os comprimentos de onda dos fótons espalhados são aproximadamente:
  • 30°: 120,3 pm
  • 60°: 121,2 pm
  • 90°: 122,4 pm
  • 120°: 123,6 pm
  • 150°: 124,5 pm
b) As energias dos elétrons resultantes são aproximadamente:
  • 30°: 27,9 eV
  • 60°: 104 eV
  • 90°: 205 eV
  • 120°: 305 eV
  • 150°: 376 eV
c) O elétron tem a maior energia quando o ângulo de espalhamento é 150°. Esse resultado poderia ter sido identificado sem cálculos, sabendo que a energia do elétron aumenta com o aumento do ângulo de espalhamento.

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