14.2 Uma bomba centrífuga é usada com gasolina \left(\rho=680 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right). As dimensões relevantes são: \beta_{1}=15 \mathrm{~cm}, \beta_{2}=28 \mathrm{cm}, L=9 \mathrm{~cm}, \mathrm{~b}_{1}=25^{\circ} \mathrm{e} \mathrm{b}_{2}=40^{\circ}. A gasolina entra na bomba paralela ao eixo da bomba, quando a bomba opera a 1200 rpm. Determine (a) a vazão; (b) a potência dada à gasolina e (c) a carga em metros.

Passo 1

O enunciado trata de uma bomba centrífuga operando com gasolina de densidade \rho=680\\ \mathrm{kg/m^3}. As dimensões são raio de entrada r_1=0,15\\ \mathrm m, raio de saída r_2=0,28\\ \mathrm m, largura axial uniforme L=0,09\\ \mathrm m, ângulo do bico na entrada \beta_1=25^\circ e na saída \beta_2=40^\circ. A rotação é N=1200\\ \mathrm{rpm}.
Conteúdo: teoria de turbomáquinas (equação de Euler e continuidade).
O que vamos precisar:
– Velocidades periféricas U_1 e U_2 a partir de \omega.
– Triângulo de velocidades na entrada para obter a componente axial c_{a1} e a vazão Q.
– Continuidade na saída para achar a componente radial c_{r2}.
– Triângulo de velocidades na saída para achar a componente tangencial c_{u2}.
– Equação de Euler para carga H.
– Potência P=\rho\,Q\,g\,H.

Passo 2

Calcular a velocidade angular e a velocidade periférica na entrada, depois obter c_{a1} e Q.
\omega = \frac{2\pi N}{60} = \frac{2\pi\cdot1200}{60}=40\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx125{,}66\\ \mathrm{rad/s}
U_1 = r_1\,\omega =0{,}15\cdot125{,}66\approx18{,}85\\ \mathrm{m/s}
No ângulo relativo \beta_1 vale
\tan\beta_1 = \frac{c_{a1}}{U_1}\quad\Longrightarrow\quad c_{a1} = U_1\tan(25^\circ)\approx18{,}85\cdot0{,}466=8{,}79\\ \mathrm{m/s}
Pela continuidade na seção de entrada, área A_1=2\pi r_1L, vem
Q = A_1\,c_{a1} = 2\pi\cdot0{,}15\cdot0{,}09\cdot8{,}79\approx0{,}746\\ \mathrm{m^3/s}

Passo 3

Calcular a componente radial de velocidade na saída pela continuidade e a velocidade periférica U_2.
U_2 = r_2\,\omega =0{,}28\cdot125{,}66\approx35{,}19\\ \mathrm{m/s}
Área de saída A_2=2\pi r_2L, logo
c_{r2} = \frac{Q}{A_2} = \frac{0{,}746}{2\pi\cdot0{,}28\cdot0{,}09}\approx4{,}70\\ \mathrm{m/s}

Passo 4

A partir do triângulo de velocidades na saída e do ângulo relativo \beta_2, obtemos a componente tangencial c_{u2}.
\tan\beta_2 = \frac{c_{r2}}{\,U_2 - c_{u2}\,} \quad\Longrightarrow\quad U_2 - c_{u2} = \frac{c_{r2}}{\tan(40^\circ)}
c_{u2} = U_2 - \frac{c_{r2}}{\tan(40^\circ)} =35{,}19 - \frac{4{,}70}{0{,}8391} \approx29{,}58\\ \mathrm{m/s}

Passo 5

Determinar a carga H pela equação de Euler e depois a potência P.
H = \frac{U_2\,c_{u2} - U_1\cdot0}{g} = \frac{35{,}19\cdot29{,}58}{9{,}81} \approx106{,}1\\ \mathrm{m}
A potência dada ao fluido é
P = \rho\,Q\,g\,H =680\cdot0{,}746\cdot9{,}81\cdot106{,}1 \approx5{,}28\times10^5\\ \mathrm W

Resposta

(a) \displaystyle Q\approx0{,}746\\ \mathrm{m^3/s}
(b) \displaystyle P\approx5{,}28\times10^5\\ \mathrm W
(c) \displaystyle H\approx106{,}1\\ \mathrm m

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