8.2 Uma tubulação de 40 km de comprimento transporta petróleo a uma vazão de 4000 barris por dia. A queda de pressão resultante é
. Se uma tubulação paralela de mesmo tamanho for colocada ao longo dos últimos 18 km da primeira tubulação, qual será a nova capacidade dessa rede? O escoamento em ambos os casos é laminar e a queda de pressão permanece
.
Passo 1
O enunciado descreve um escoamento laminar de petróleo numa tubulação cilíndrica de comprimento total
,km, com vazão inicial de
barris/dia e queda de pressão
,Pa. Pede-se a nova vazão
quando, ao longo dos últimos
,km, se instala uma tubulação paralela idêntica. Vamos usar a lei de Hagen–Poiseuille (fluxo laminar em tubo) e as regras de associação de resistências hidráulicas em série e paralelo.
Passo 2
Em escoamento laminar em tubo cilíndrico de raio
e viscosidade
, a lei de Poiseuille dá
Definindo a constante
temos a relação equivalente
Chamemos
, então
Passo 3
Para a tubulação única inicial,
,m e
barris/dia. Convertemos
De
obtemos
Passo 4
Na nova configuração, o trecho inicial de comprimento
,km permanece com fluxo total
. Depois desse trecho há duas tubulações paralelas idênticas, cada uma com vazão
e comprimento
,km. A queda total
se distribui em série:
onde
e queda em cada ramo paralelo (são idênticos), mas como estão em paralelo a pressão em cada um é igual à total no trecho, e cada um carrega vazão
:
e
Passo 5
Somando as quedas:
Logo
Passo 6
Substituindo
e cancelando
:
Passo 7
Portanto
Resposta
A nova capacidade da rede é aproximadamente
barris por dia.