8.2 Uma tubulação de 40 km de comprimento transporta petróleo a uma vazão de 4000 barris por dia. A queda de pressão resultante é 3,45 \times 10^{6} \mathrm{~Pa}. Se uma tubulação paralela de mesmo tamanho for colocada ao longo dos últimos 18 km da primeira tubulação, qual será a nova capacidade dessa rede? O escoamento em ambos os casos é laminar e a queda de pressão permanece 3,45 \times 10^{6} \mathrm{~Pa}.

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento laminar de petróleo numa tubulação cilíndrica de comprimento total L_0=40,km, com vazão inicial de Q_0=4000 barris/dia e queda de pressão \Delta P=3{,}45\times10^{6},Pa. Pede-se a nova vazão Q_1 quando, ao longo dos últimos L_2=18,km, se instala uma tubulação paralela idêntica. Vamos usar a lei de Hagen–Poiseuille (fluxo laminar em tubo) e as regras de associação de resistências hidráulicas em série e paralelo.

Passo 2

Em escoamento laminar em tubo cilíndrico de raio r e viscosidade \mu, a lei de Poiseuille dá
Q = \frac{\pi r^4}{8\,\mu}\,\frac{\Delta P}{L}\,.
Definindo a constante
c = \frac{\pi r^4}{8\,\mu}\,,
temos a relação equivalente
Q = c\,\frac{\Delta P}{L} \quad\Longleftrightarrow\quad \Delta P = \frac{L}{c}\,Q.
Chamemos K=\tfrac{1}{c}, então
\Delta P = K\,L\,Q.

Passo 3

Para a tubulação única inicial, L_0=40\,000,m e Q_0=4000 barris/dia. Convertemos
Q_0 = 4000\;\frac{\text{barris}}{\text{dia}} \;\times\;0{,}158987\;\frac{\text{m}^3}{\text{barris}} \;\times\;\frac{1}{86400\;\text{s/dia}} \approx 0{,}007366\;\frac{\text{m}^3}{\text{s}}.
De \Delta P = K\,L_0\,Q_0 obtemos
K = \frac{\Delta P}{L_0\,Q_0} = \frac{3{,}45\times10^{6}}{40\,000\cdot0{,}007366} \approx 1{,}17\times10^{4}\;\frac{\text{Pa}}{\text{m}^4/\text{s}}.

Passo 4

Na nova configuração, o trecho inicial de comprimento L_1 = L_0 - L_2 = 40 - 18 = 22,km permanece com fluxo total Q_1. Depois desse trecho há duas tubulações paralelas idênticas, cada uma com vazão Q_1/2 e comprimento L_2=18,km. A queda total \Delta P se distribui em série:
\Delta P = \Delta P_1 + \Delta P_2,
onde \Delta P_1 = K\,L_1\,Q_1
e \Delta P_2 = queda em cada ramo paralelo (são idênticos), mas como estão em paralelo a pressão em cada um é igual à total no trecho, e cada um carrega vazão Q_1/2:
\Delta P_2 = K\,L_2\,\frac{Q_1}{2}.

Passo 5

Somando as quedas:
\Delta P = K\,L_1\,Q_1 \;+\; K\,L_2\,\frac{Q_1}{2} = K\,Q_1\Bigl(L_1 + \tfrac{L_2}{2}\Bigr).
Logo
Q_1 = \frac{\Delta P}{K\,(L_1 + \tfrac{L_2}{2})}.

Passo 6

Substituindo K = \tfrac{\Delta P}{L_0\,Q_0} e cancelando \Delta P:
Q_1 = \frac{\Delta P}{\tfrac{\Delta P}{L_0\,Q_0}\,\bigl(L_1 + \tfrac{L_2}{2}\bigr)} = \frac{L_0\,Q_0}{L_1 + \tfrac{L_2}{2}} = \frac{40\,\text{km}}{22\,\text{km} + 9\,\text{km}}\;Q_0 = \frac{40}{31}\;Q_0 \approx 1{,}2903\,Q_0.

Passo 7

Portanto
Q_1 \approx 1{,}2903 \times 4000\;\frac{\text{barris}}{\text{dia}} \approx 5161\;\frac{\text{barris}}{\text{dia}}.

Resposta

A nova capacidade da rede é aproximadamente 5160 barris por dia.

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