O fenômeno familiar do arco-íris resulta da difração de luz solar por meio de gotas de chuva.
a) O comprimento de onda da luz amarela aumenta ou diminui à medida que passamos da faixa mais interna para a mais externa do arco-íris?
b) A frequência de luz aumenta ou diminui à medida que vamos para a faixa mais externa?
c) Esse fenômeno explicita que teoria e de qual autor? Considerando o comprimento de onda da luz amarela ser 570 nm , quanto vale o momento linear dessa radiação?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) saber se o comprimento de onda da luz amarela aumenta ou diminui quando passamos da faixa mais interna para a mais externa do arco-íris;
  • (b) saber se a frequência dessa luz aumenta ou diminui ao irmos para a faixa mais externa;
  • (c) identificar que teoria e qual autor o fenômeno explicita, e calcular o momento linear da radiação amarela, dado o comprimento de onda \lambda=570\\ \text{nm}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Comprimento de onda da luz amarela: \lambda=570\\ \text{nm}=570\times10^{-9}\\ \text{m}.
Observação (assunção que vou usar): o valor de \lambda fornecido será tomado como comprimento de onda no ar / vácuo. Se a pergunta pedisse o momento dentro da gota de água haveria sutilezas sobre o comprimento de onda no meio e sobre a definição do momento do fóton em meio material; aqui usarei a fórmula padrão para fótons no vácuo.

Passo 2

Explicando, de forma prática e sem pular etapas, por que diferentes cores aparecem em posições distintas no arco-íris (a ideia central).
  • Quando a luz branca (sol) incide numa gota de chuva há refração ao entrar na gota, reflexão interna parcial e refração novamente ao sair. A refração depende do índice de refração n do material e do comprimento de onda da luz: isto é a dispersão.
  • A lei de Snell (lei da refração) dá a relação entre ângulos e índices:
n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2,
onde n_1 e n_2 são índices de refração dos dois meios e \theta_1,\theta_2 os ângulos medidos da normal.
  • Importante: em materiais transparents como a água o índice de refração depende do comprimento de onda \lambda: geralmente n(\lambda) diminui quando \lambda aumenta (efeito normal de dispersão). Ou seja, a luz de menor comprimento de onda (violeta) sofre maior desvio na refração que a luz de maior comprimento de onda (vermelho).
  • Geometricamente, isso faz com que a direção de saída da luz de cada cor seja diferente: a luz vermelha sai em ângulos maiores (formando a faixa externa do arco-íris primário) e a violeta em ângulos menores (faixa interna). Portanto, ao nos movermos da faixa interna para a externa estamos indo de cores de menor \lambda para cores de maior \lambda.
Conclusão lógica para (a): ao passar da faixa mais interna para a mais externa do arco-íris o comprimento de onda aumenta.

Passo 3

Resposta didática e curta para (a) com reforço conceitual:
  • A razão física é a dispersão: maiores comprimentos de onda (vermelho) são desviados menos internamente pela gota, resultando em um ângulo de saída maior e formando a faixa externa. Portanto a sequência interno → externo corresponde a comprimentos de onda que aumentam.
    (Resposta direta: o comprimento de onda aumenta.)

Passo 4

Explicação para (b) — o que acontece com a frequência ao mudar de meio ou ao corresponder às diferentes faixas do arco-íris:
  • Relação fundamental entre velocidade v, frequência f e comprimento de onda \lambda:
v=f\lambda.
  • Quando a luz passa do ar para a água a velocidade v muda (fica v=c/n), e por consequência a comprimento de onda no meio muda ( \lambda_{\text{meio}}=\lambda_{0}/n), MAS a frequência f permanece a mesma. A conservação da frequência decorre das condições de contorno nas fronteiras: a oscilação temporal deve ser contínua, não pode saltar de frequência instantaneamente.
  • No arco-íris cada cor corresponde a uma frequência fixa da luz solar; mover-se para a faixa externa não muda a frequência da radiação associada àquela cor.
Conclusão direta para (b): a frequência permanece constante (não aumenta nem diminui) ao irmos para a faixa mais externa.

Passo 5

Sobre (c) — qual teoria e qual autor:
  • O fenômeno mostra a dispersão da luz e pode ser explicado pela ótica geométrica (ração de raios + Snell) — a explicação geométrica clássica do arco-íris foi dada por René Descartes (século XVII), que mostrou como refração e reflexão dentro das gotas criam o arco primário.
  • Isaac Newton estudou a dispersão da luz branca em cores usando prismas e explicou como diferentes comprimentos de onda se separam (teoria da cor / dispersão).
  • Para explicar detalhes como os arcos secundários e as franjas supernumerárias (pequenas faixas claras e escuras adicionais) é necessário usar a teoria ondulatória da luz (interferência/difração) desenvolvida por Thomas Young e pelo trabalho de Fresnel e Airy. Assim, o arco-íris é um fenômeno que envolve tanto conceitos de óptica geométrica (Descartes, Newton) quanto de óptica ondulatória (Young, Fresnel, Airy) para explicar todos os detalhes observados.

Passo 6

Cálculo do momento linear da radiação amarela ( \lambda=570\\ \text{nm}), assumindo fóton no vácuo:
  • Fórmula do momento linear de um fóton no vácuo:
p=\dfrac{h}{\lambda},
onde h é a constante de Planck.
  • Usar h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s} e \lambda=570\times10^{-9}\\ \mathrm{m}. Substituindo:
p=\dfrac{6,62607015\times10^{-34}}{570\times10^{-9}} =\dfrac{6,62607015}{570}\times10^{-25}.
  • Calculando numericamente:
\dfrac{6,62607015}{570}\approx1,1628\times10^{-2},
portanto
p\approx1,1628\times10^{-27}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Arredondando de modo razoável:
p\approx1,16\times10^{-27}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Observação didática final sobre o momento em meio material: dentro da água o comprimento de onda efetivo diminui ( \lambda_{\text{água}}=\lambda_{0}/ná) e há discussões avançadas (teorias de Minkowski e Abraham) sobre como definir rigorosamente o momento do fóton no meio; aqui usamos a definição usual em vácuo porque o enunciado deu \lambda como um valor padrão e a maioria dos exercícios calcula p=h/\lambda.

Resposta

a) Aumenta.
b) Permanece constante (não muda).
c) Evidencia a dispersão/refração da luz — explicação geométrica por René Descartes e dispersão por Isaac Newton (detalhes de interferência/supernumerárias exigem Young/Fresnel/Airy); momento linear p\approx1,16\times10^{-27}\\ \mathrm{kg\cdot m/s} (assumindo \lambda no vácuo).

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