Calcule os comprimentos de ondas e as energias das luzes de trânsito. Suponha que as frequências sejam: verde, 5,75 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}; amarelo 5,15 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}; vermelho, 4,27 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para cada cor do semáforo (verde, amarelo, vermelho):
  • Calcular o comprimento de onda.
  • Calcular a energia da luz.
As informações fornecidas (peguei as frequências do enunciado) são:
\nu_{\text{verde}}=5,75\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}
\nu_{\text{amarelo}}=5,15\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}
\nu_{\text{vermelho}}=4,27\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}
Observação importante: vou calcular a energia por fóton (energia de um único fóton), que é a interpretação padrão quando se fala em “energia da luz” em problemas básicos de física. Também vou usar os valores usuais para constantes físicas (mostro abaixo).

Passo 2

Fórmulas e constantes que vou usar — explicando passo a passo o que cada símbolo significa:
  • Relação entre comprimento de onda e frequência: a luz no vácuo satisfaz
\lambda=\frac{c}{\nu},
onde \lambda é o comprimento de onda (em metros), c é a velocidade da luz no vácuo e \nu é a frequência (em hertz). Isso vem da definição de onda, que relaciona distância percorrida por ciclo com quantos ciclos ocorrem por segundo.
  • Energia de um fóton (energia associada a um único quantum de luz):
E=h\,\nu,
onde E é a energia (em joules), h é a constante de Planck e \nu é a frequência. Essa fórmula diz que a energia é proporcional à frequência: quanto maior a frequência, mais energia.
  • Valores numéricos das constantes (valores aproximados com 3 algarismos significativos, padrão em exercícios):
c=3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad h=6,63\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
  • Se quiser comparar em eletrón-volts, a conversão é
1\\ \mathrm{eV}=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Agora aplico essas fórmulas para cada cor.

Passo 3

Cálculo dos comprimentos de onda usando \lambda=\dfrac{c}{\nu}.
Para a luz verde:
\lambda_{\text{verde}}=\frac{3,00\times10^{8}}{5,75\times10^{14}}=\frac{3,00}{5,75}\times10^{-6}=5,217391\ldots\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Arredondando a três algarismos significativos e convertendo para nanômetros ( 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}):
\lambda_{\text{verde}}\approx5,22\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=522\\ \mathrm{nm}.
Para a luz amarela:
\lambda_{\text{amarelo}}=\frac{3,00\times10^{8}}{5,15\times10^{14}}=\frac{3,00}{5,15}\times10^{-6}=5,8252427\ldots\times10^{-7}\\ \mathrm{m},
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\lambda_{\text{amarelo}}\approx5,83\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=583\\ \mathrm{nm}.
Para a luz vermelha:
\lambda_{\text{vermelho}}=\frac{3,00\times10^{8}}{4,27\times10^{14}}=\frac{3,00}{4,27}\times10^{-6}=7,025864\ldots\times10^{-7}\\ \mathrm{m},
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\lambda_{\text{vermelho}}\approx7,03\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=703\\ \mathrm{nm}.
Pequeno resumo dos comprimentos de onda calculados:
\lambda_{\text{verde}}\approx522\\ \mathrm{nm},\qquad \lambda_{\text{amarelo}}\approx583\\ \mathrm{nm},\qquad \lambda_{\text{vermelho}}\approx703\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

Cálculo das energias por fóton usando E=h\,\nu.
Para a luz verde:
E_{\text{verde}}=6,63\times10^{-34}\times5,75\times10^{14}=6,63\times5,75\times10^{-20}=38,1225\times10^{-20}=3,81225\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Arredondando a três algarismos significativos:
E_{\text{verde}}\approx3,81\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Para a luz amarela:
E_{\text{amarelo}}=6,63\times10^{-34}\times5,15\times10^{14}=6,63\times5,15\times10^{-20}=34,1445\times10^{-20}=3,41445\times10^{-19}\\ \mathrm{J},
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E_{\text{amarelo}}\approx3,41\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Para a luz vermelha:
E_{\text{vermelho}}=6,63\times10^{-34}\times4,27\times10^{14}=6,63\times4,27\times10^{-20}=28,3101\times10^{-20}=2,83101\times10^{-19}\\ \mathrm{J},
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E_{\text{vermelho}}\approx2,83\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Conversão das energias para elétron-volts (opcional, mas útil para intuição): usar 1\\ \mathrm{eV}=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Para a luz verde:
E_{\text{verde}}=\frac{3,81225\times10^{-19}}{1,602\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx2,38\\ \mathrm{eV}.
Para a luz amarela:
E_{\text{amarelo}}=\frac{3,41445\times10^{-19}}{1,602\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx2,13\\ \mathrm{eV}.
Para a luz vermelha:
E_{\text{vermelho}}=\frac{2,83101\times10^{-19}}{1,602\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx1,77\\ \mathrm{eV}.

Resposta

\lambda_{\text{verde}}\approx522\\ \mathrm{nm} \quad E_{\text{verde}}\approx3,81\times10^{-19}\\ \mathrm{J}=2,38\\ \mathrm{eV}
\lambda_{\text{amarelo}}\approx583\\ \mathrm{nm} \quad E_{\text{amarelo}}\approx3,41\times10^{-19}\\ \mathrm{J}=2,13\\ \mathrm{eV}
\lambda_{\text{vermelho}}\approx703\\ \mathrm{nm} \quad E_{\text{vermelho}}\approx2,83\times10^{-19}\\ \mathrm{J}=1,77\\ \mathrm{eV}

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