Um fermentador de 5 m^3 é operado continuamente com alimentação de substrato ( S0=20 kg / m^3 ). Os microrganismos cultivados no reator apresentam as seguintes características: Ks= 0,8 kg / m^3 e mu max =0,45 h^-1, YX / S=0,55 kg células / kg substrato é.
Qual a produtividade da biomassa para esta conversão de substrato

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é um reator contínuo (CSTR) de 5 m³ alimentado com substrato inicial S₀ = 20 kg/m³. Os microrganismos seguem cinética de Monod com
μₘₐₓ = 0,45 h⁻¹, Ks = 0,8 kg/m³ e rendimento Yₓ/ₛ = 0,55 kgₓ/kgₛ.
O que a gente quer é a produtividade de biomassa – normalmente a produtividade volumétrica P (kgₓ / m³·h) – que em regime estacionário é dada por P = D·X, onde D é a taxa de diluição.
Para resolver vamos precisar:
  • Equação de Monod (μ em função de S)
  • Balanços em regime permanente (μ = D, relações S e X)
  • Definição de produtividade P(D) e otimização pra achar o máximo.

Passo 2

Em regime estacionário de um CSTR valem duas coisas:
  1. Taxa de crescimento específica μ iguala a taxa de diluição D: μ = D
    2) A cinética de Monod relaciona μ e o substrato residual S:
    μ = μmax·SKs+S
Logo,
D = μmax·SKs+S Longrightarrow S(D) = Ks·Dμmax-D
E pela definição de rendimento X é dado por:
X = YX/S·(S0 - S)

Passo 3

A produtividade volumétrica P em função de D é
P(D) = D·X = D·YX/S·l(S0 - S(D)r)
Substituindo S(D):
P(D) = D·YX/Sl(S0 - Ks·Dμmax-Dr)

Passo 4

Pra achar o D que maximiza P(D) a gente deriva P(D) em relação a D, faz igual a zero e resolve. O resultado padrão dessa otimização pra Monod dá:
Sopt = raizKs,(Ks+S0) - Ks
Dopt = μmax,SoptKs+Sopt = μmaxl(1 - raiztfracKsKs+S0r)

Passo 5

Agora é só colocar números:
  1. Calcula Sopt = raiz0.8,(0.8+20) - 0.8 = raiz16,64 - 0.8 ≈ 4,08 - 0.8 = 3,28 kg/m^3: Dopt = 0.45l(1 - raiztfrac0.820.8r) ≈ 0.3617 h^-1
    2) Calcula P = Dopt·YX/S·(S0 - Sopt) = 0.3617·0.55·(20 - 3.28) ≈ 3.33 kg/(m^3·h):
  2. Por fim Pₘₐₓ = P(Dₒₚₜ):

Resposta

A produtividade máxima de biomassa é cerca de
3,33 kg·m⁻³·h⁻¹
(ou, para o reator de 5 m³, cerca de 16,6 kg/h de biomassa).

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