Seja um sistema representado pela seguinte função de transferência de malha fechada:
Utilize o critério de Routh e verifique se o sistema é estável ou instável.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem a função de transferência em malha fechada
O que importa pra gente é o denominador, que é a nossa equação característica:
O conteúdo é o Critério de Routh–Hurwitz, que nos diz se todos os pólos daquele polinômio têm parte real negativa (sistema estável) construindo a tabela de Routh. Vamos precisar:
- Montar a tabela de Routh com as linhas de s³, s², s¹ e s⁰;
- Calcular cada elemento da primeira coluna;
- Checar quantas mudanças de sinal rolam na primeira coluna.
Passo 2
Primeiro montamos as duas primeiras linhas da tabela de Routh com os coeficientes do polinômio:
Linha s³: pega os coeficientes de
e
Linha s²: pega os coeficientes de
e
Passo 3
Agora calculamos a linha s¹. A regra é:
E como não há outro par de coeficientes, o segundo elemento dessa linha é zero:
Passo 4
Finalmente, a linha s⁰ só traz o último coeficiente não usado, que é 1030:
Então a tabela de Routh resumida fica assim (apenas primeira coluna relevante):
Passo 5
Na teoria do Routh, pra ter estabilidade todos os números da primeira coluna têm que ser positivos (não pode ter mudança de sinal). Aqui a gente vê:
1 → 10 (tudo bem, positivo para positivo)
10 → -72 (aí já muda de positivo para negativo)
-72 → 1030 (muda de negativo para positivo de novo)
1 → 10 (tudo bem, positivo para positivo)
10 → -72 (aí já muda de positivo para negativo)
-72 → 1030 (muda de negativo para positivo de novo)
Cada mudança de sinal corresponde a um pólo na região de
.
Resposta
Como há mudança de sinal na primeira coluna, o sistema é INSTÁVEL.