Seja um sistema representado pela seguinte função de transferência de malha fechada:
G(s)=1000s^3+10 s^2+31 s+1030
Rightarrow Utilize o critério de Routh e verifique se o sistema é estável ou instável.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem a função de transferência em malha fechada
G(s)=1000s^3+10s^2+31s+1030
O que importa pra gente é o denominador, que é a nossa equação característica:
De
O conteúdo é o Critério de Routh–Hurwitz, que nos diz se todos os pólos daquele polinômio têm parte real negativa (sistema estável) construindo a tabela de Routh. Vamos precisar:
  • Montar a tabela de Routh com as linhas de s³, s², s¹ e s⁰;
  • Calcular cada elemento da primeira coluna;
  • Checar quantas mudanças de sinal rolam na primeira coluna.

Passo 2

Primeiro montamos as duas primeiras linhas da tabela de Routh com os coeficientes do polinômio:
Linha s³: pega os coeficientes de s^3: 1 31 e s^2: 10 1030
Linha s²: pega os coeficientes de e

Passo 3

Agora calculamos a linha s¹. A regra é:
e<=mento na coluna 1 de s^1 = (10cdot 31) - (1cdot 1030)10 = 310 - 103010 = -72
E como não há outro par de coeficientes, o segundo elemento dessa linha é zero:
s^1: -72 0

Passo 4

Finalmente, a linha s⁰ só traz o último coeficiente não usado, que é 1030:
s^0: 1030
Então a tabela de Routh resumida fica assim (apenas primeira coluna relevante):
c|c s^3 & 1 s^2 & 10 s^1 & -72 s^0 & 1030

Passo 5

Na teoria do Routh, pra ter estabilidade todos os números da primeira coluna têm que ser positivos (não pode ter mudança de sinal). Aqui a gente vê:
1 → 10 (tudo bem, positivo para positivo)
10 → -72 (aí já muda de positivo para negativo)
-72 → 1030 (muda de negativo para positivo de novo)
Cada mudança de sinal corresponde a um pólo na região de .

Resposta

Como há mudança de sinal na primeira coluna, o sistema é INSTÁVEL.

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