Uma ferrita tem as seguintes características na frequência de 10 GHz :
;
e
. Para uma o.p.u. com amplitude máxima de
, obter:
a)
;
b) as expressões (no tempo) para os campos elétrico e magnético. Supor que a onda se propaga no sentido +z e que o campo elétrico atinge seu valor máximo em
e
.
a)
b) as expressões (no tempo) para os campos elétrico e magnético. Supor que a onda se propaga no sentido +z e que o campo elétrico atinge seu valor máximo em
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
-
. -
. -
. -
. - Amplitude máxima da o.p.u. (onda plana uniforme):
. - A onda se propaga no sentido
. - O campo elétrico atinge seu valor máximo em
e .
O enunciado pede:
(a) (atenuação),
(constante de fase),
(velocidade de fase),
(comprimento de onda) e
(impedância intrínseca) na frequência dada;
(b) as expressões no tempo para os campos elétrico e magnético, usando a informação de que atinge máximo em
.
(a)
(b) as expressões no tempo para os campos elétrico e magnético, usando a informação de que
Passo 2
Vou calcular as constantes básicas e lembrar as fórmulas que vou usar.
Constantes do meio:
com
e
.
Frequência angular:
A constante de propagação complexa é
A impedância intrínseca do meio (complexa) é
Essas fórmulas vêm da resolução de Maxwell para uma onda plana em um meio condutor linear, homogêneo e isotrópico. A raiz quadrada é a raiz principal (com escolha de ramo que dá
).
Agora calculo numericamente os parâmetros auxiliares.
Calculemos
:
Calcule também
e
porque aparecem frequentemente:
Nota intuitiva:
. Isso significa que o meio é um dielétrico de baixa perda (pequena condutividade relativa ao termo
). Vou, porém, calcular
exatamente a partir da fórmula da raiz complexa e também mostrar a aproximação de meio de baixa perda para comparação.
Passo 3
Calcular
passo a passo (cálculo complexo).
Forme o produto interno:
Multiplicando por
:
Lembrando
:
Substituindo
:
Agora precisamos da raiz quadrada complexa desse número:
denotando e
,
o módulo é
denotando
o módulo é
e o argumento é
A raiz quadrada é
Calcule
e
.
Portanto, separando parte real e imaginária:
Portanto, separando parte real e imaginária:
Assim,
(Explico: fiz a raiz complexa obtendo primeiro módulo e argumento do número complexo e depois tirei a raiz; esse é o método padrão para raízes de números complexos.)
Passo 4
Verificação por aproximação de meio de baixa perda (fórmulas aproximadas)
Para
as aproximações são
Calcule
:
Usando a aproximação para
:
Os valores aproximados são muito próximos dos obtidos pelo cálculo exato (diferença pequena), portanto os resultados estão consistentes.
Passo 5
Cálculo da velocidade de fase e do comprimento de onda.
Velocidade de fase:
Usando
e
,
Observação: isso também pode ser visto como
.
Comprimento de onda:
Passo 6
Cálculo da impedância intrínseca
.
Usamos
Já calculamos
e
. Faço a divisão complexa e depois tomo a raiz.
Divisão (passos numéricos mostrados resumidamente):
A raiz quadrada desse número dá
Magnitude e fase:
Comentário físico: a impedância é praticamente real (o meio é pouco loss), com pequeno ângulo positivo indicando que
está ligeiramente defasado em relação a
.
Passo 7
Agora passo para a parte (b): escrever as expressões no tempo para os campos elétrico e magnético e ajustar a fase para que
seja máximo em
.
Forma geral para uma onda plana que se propaga no sentido
com amortecimento:
onde
é a amplitude (valor em
quando o cosseno vale 1) e
é uma fase inicial a determinar.
Assumindo polarização elétrica ao longo de
, então o campo magnético associado (para onda que propaga em
) está ao longo de
e satisfaz:
onde
.
Agora uso a condição de máximo: o enunciado deu "amplitude máxima de
". Interpreto isso como
(amplitude da o.p.u. no plano
quando o fator de cosseno for 1). A condição de máximo em
exige:
ou seja, o cosseno deve ser
em
. Logo
portanto escolho a fase
Substituindo os números:
Logo
(é aceitável reduzir módulo
se quiser; aqui deixei o valor direto.)
Também calculo
e
. Assim a amplitude do campo magnético no
é
Passo 8
Escrever explicitamente as expressões finais no tempo (substituindo os valores calculados).
Campo elétrico:
Campo magnético:
Pequena observação: a fase de
está deslocada de
em relação a
por causa da parte imaginária da impedância; nesse caso o deslocamento é muito pequeno (
).
Resposta
(a)
(b)