Uma ferrita tem as seguintes características na frequência de 10 GHz : \varepsilon_{\mathrm{r}}=9; \mu_{\mathrm{r}}=4 e \sigma=10 \mathrm{mS} / \mathrm{m}. Para uma o.p.u. com amplitude máxima de 20 \mathrm{~V} / \mathrm{m}, obter:
a) \alpha, \beta, \mathrm{v}_{\mathrm{f}}, \lambda \mathrm{e} \eta;
b) as expressões (no tempo) para os campos elétrico e magnético. Supor que a onda se propaga no sentido +z e que o campo elétrico atinge seu valor máximo em \mathrm{z}=0,01 \mathrm{~m} e \mathrm{t}=10^{-11} \mathrm{~s}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • f=10\\ \mathrm{GHz}.
  • \varepsilon_{\mathrm{r}}=9.
  • \mu_{\mathrm{r}}=4.
  • \sigma=10\\ \mathrm{mS/m}=0{,}01\\ \mathrm{S/m}.
  • Amplitude máxima da o.p.u. (onda plana uniforme): E_{\max}=20\\ \mathrm{V/m}.
  • A onda se propaga no sentido +z.
  • O campo elétrico atinge seu valor máximo em z_{0}=0{,}01\\ \mathrm{m} e t_{0}=10^{-11}\\ \mathrm{s}.
O enunciado pede:
(a) \alpha (atenuação), \beta (constante de fase), v_{\mathrm{f}} (velocidade de fase), \lambda (comprimento de onda) e \eta (impedância intrínseca) na frequência dada;
(b) as expressões no tempo para os campos elétrico e magnético, usando a informação de que E atinge máximo em z_{0},t_{0}.

Passo 2

Vou calcular as constantes básicas e lembrar as fórmulas que vou usar.
Constantes do meio:
\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_{\mathrm{r}},\qquad \mu = \mu_0 \mu_{\mathrm{r}},
com \varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} e \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
Frequência angular:
\omega = 2\pi f.
A constante de propagação complexa é
\gamma=\alpha + j\beta=\sqrt{j\omega\mu\left(\sigma + j\omega\varepsilon\right)}.
A impedância intrínseca do meio (complexa) é
\eta=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\varepsilon}}.
Essas fórmulas vêm da resolução de Maxwell para uma onda plana em um meio condutor linear, homogêneo e isotrópico. A raiz quadrada é a raiz principal (com escolha de ramo que dá \alpha\ge0).
Agora calculo numericamente os parâmetros auxiliares.
Calculemos \omega,\\ \varepsilon,\\ \mu:
\omega = 2\pi\cdot 10^{10}=6{,}283185307\times10^{10}\\ \mathrm{rad/s}.
\varepsilon = 8{,}854187817\times10^{-12}\cdot 9 = 7{,}968768\! \times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
\mu = 4\pi\times10^{-7}\cdot 4 = 5{,}026548245\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.
Calcule também \omega\varepsilon e \omega\mu porque aparecem frequentemente:
\omega\varepsilon \approx 6{,}283185307\times10^{10}\cdot7{,}968768\times10^{-11}\approx 5{,}00691329\\ \mathrm{S/m}.
\omega\mu \approx 6{,}283185307\times10^{10}\cdot5{,}026548245\times10^{-6}\approx 3{,}16227766\times10^{5}.
Nota intuitiva: \dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\approx \dfrac{0{,}01}{5{,}0069}\approx0{,}002\ll1. Isso significa que o meio é um dielétrico de baixa perda (pequena condutividade relativa ao termo \omega\varepsilon). Vou, porém, calcular \alpha,\beta exatamente a partir da fórmula da raiz complexa e também mostrar a aproximação de meio de baixa perda para comparação.

Passo 3

Calcular \gamma=\sqrt{j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)} passo a passo (cálculo complexo).
Forme o produto interno:
\sigma + j\omega\varepsilon = 0{,}01 + j\;5{,}00691329.
Multiplicando por j\omega\mu:
j\omega\mu(\sigma + j\omega\varepsilon) = j\omega\mu\cdot 0{,}01 + j\omega\mu\cdot j\;5{,}00691329.
Lembrando j^2=-1:
j\omega\mu(\sigma + j\omega\varepsilon) = -\omega\mu\cdot 5{,}00691329 + j\;\omega\mu\cdot 0{,}01.
Substituindo \omega\mu\approx 3{,}16227766\times10^{5}:
j\omega\mu(\sigma + j\omega\varepsilon) \approx -1{,}583325\times10^{6} + j\;3{,}16227766\times10^{3}.
Agora precisamos da raiz quadrada complexa desse número:
denotando A=-1{,}583325\times10^{6} e B=3{,}16227766\times10^{3},
o módulo é
R=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\approx 1{,}583328\times10^{6},
e o argumento é
\theta=\operatorname{atan2}(B,A)\approx \pi - 0{,}001997\\ \mathrm{rad}.
A raiz quadrada é
\sqrt{R}\,\exp\!\left(j\frac{\theta}{2}\right).
Calcule \sqrt{R}\approx 1{,}258{,}31\times10^{3} e \theta/2\approx \tfrac{\pi}{2}-0{,}0009985.
Portanto, separando parte real e imaginária:
\gamma=\alpha + j\beta \approx 1{,}2576 + j\;1258{,}31\quad(\mathrm{Np/m}\\ \text{e}\\ \mathrm{rad/m}).
Assim,
\alpha \approx 1{,}258\\ \mathrm{Np/m},\qquad \beta \approx 1258{,}31\\ \mathrm{rad/m}.
(Explico: fiz a raiz complexa obtendo primeiro módulo e argumento do número complexo e depois tirei a raiz; esse é o método padrão para raízes de números complexos.)

Passo 4

Verificação por aproximação de meio de baixa perda (fórmulas aproximadas)
Para \dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\ll1 as aproximações são
\beta \approx \omega\sqrt{\mu\varepsilon}\quad\text{e}\quad \alpha \approx \frac{\sigma}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}.
Calcule \omega\sqrt{\mu\varepsilon}:
\omega\sqrt{\mu\varepsilon} = \frac{\omega}{c}\sqrt{\mu_{\mathrm{r}}\varepsilon_{\mathrm{r}}} = \frac{2\pi f}{c}\sqrt{4\cdot 9} = \frac{2\pi\cdot10^{10}}{299792458}\cdot 6 \approx 1256{,}64\\ \mathrm{rad/m}.
Usando a aproximação para \alpha:
\alpha \approx \frac{0{,}01}{2}\sqrt{\frac{5{,}026548\times10^{-6}}{7{,}968768\times10^{-11}}} \approx 1{,}2555\\ \mathrm{Np/m}.
Os valores aproximados são muito próximos dos obtidos pelo cálculo exato (diferença pequena), portanto os resultados estão consistentes.

Passo 5

Cálculo da velocidade de fase e do comprimento de onda.
Velocidade de fase:
v_{\mathrm{f}}=\frac{\omega}{\beta}.
Usando \beta\approx1258{,}31\\ \mathrm{rad/m} e \omega\approx 6{,}283185307\times10^{10}\\ \mathrm{rad/s},
v_{\mathrm{f}}\approx \frac{6{,}283185307\times10^{10}}{1258{,}31}\approx 4{,}99654\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Observação: isso também pode ser visto como v_{\mathrm{f}}=c/\sqrt{\mu_{\mathrm{r}}\varepsilon_{\mathrm{r}}}=c/6.
Comprimento de onda:
\lambda = \frac{2\pi}{\beta}\approx \frac{2\pi}{1258{,}31}\approx 4{,}9965\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=4{,}9965\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Cálculo da impedância intrínseca \eta.
Usamos
\eta=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\varepsilon}}.
Já calculamos j\omega\mu e \sigma + j\omega\varepsilon. Faço a divisão complexa e depois tomo a raiz.
Divisão (passos numéricos mostrados resumidamente):
\frac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\varepsilon}\approx 63179{,}61 + j\;126{,}16.
A raiz quadrada desse número dá
\eta \approx 251{,}36 + j\;0{,}2509\\ \Omega.
Magnitude e fase:
|\eta|\approx 251{,}36\\ \Omega,\qquad \angle\eta\approx 0{,}000999\\ \mathrm{rad}\\ (\approx0{,}0573^\circ).
Comentário físico: a impedância é praticamente real (o meio é pouco loss), com pequeno ângulo positivo indicando que H está ligeiramente defasado em relação a E.

Passo 7

Agora passo para a parte (b): escrever as expressões no tempo para os campos elétrico e magnético e ajustar a fase para que E seja máximo em z_{0},t_{0}.
Forma geral para uma onda plana que se propaga no sentido +z com amortecimento:
\mathbf{E}(z,t) = \Re\!\left\{ \mathbf{E}_0 e^{-\gamma z} e^{j\omega t} \right\} = E_{0} e^{-\alpha z}\cos\!\bigl(\omega t - \beta z + \varphi\bigr)\,\hat{\mathbf{x}},
onde E_{0} é a amplitude (valor em z=0 quando o cosseno vale 1) e \varphi é uma fase inicial a determinar.
Assumindo polarização elétrica ao longo de \hat{\mathbf{x}}, então o campo magnético associado (para onda que propaga em +z) está ao longo de \hat{\mathbf{y}} e satisfaz:
\mathbf{H}(z,t)=\Re\!\left\{\frac{\mathbf{E}_0}{\eta} e^{-\gamma z} e^{j\omega t}\right\} = \frac{E_{0}}{|\eta|} e^{-\alpha z}\cos\!\bigl(\omega t - \beta z + \varphi - \theta_\eta\bigr)\,\hat{\mathbf{y}},
onde \theta_\eta=\angle\eta.
Agora uso a condição de máximo: o enunciado deu "amplitude máxima de 20\\ \mathrm{V/m}". Interpreto isso como E_{0}=20\\ \mathrm{V/m} (amplitude da o.p.u. no plano z=0 quando o fator de cosseno for 1). A condição de máximo em z_{0},t_{0} exige:
E(z_{0},t_{0}) = E_{0} e^{-\alpha z_{0}}\cos\!\bigl(\omega t_{0} - \beta z_{0} + \varphi\bigr) = + E_{0} e^{-\alpha z_{0}},
ou seja, o cosseno deve ser +1 em z_{0},t_{0}. Logo
\omega t_{0} - \beta z_{0} + \varphi = 2\pi n,\quad\text{escolho }n=0,
portanto escolho a fase
\varphi = \beta z_{0} - \omega t_{0}.
Substituindo os números:
\omega\approx 6{,}283185307\times10^{10}\\ \mathrm{rad/s},\qquad \beta\approx 1258{,}31\\ \mathrm{rad/m},
\beta z_{0}\approx 1258{,}31\cdot 0{,}01 = 12{,}5831\\ \mathrm{rad},
\omega t_{0}\approx 6{,}283185307\times10^{10}\cdot 10^{-11}=0{,}62831853\\ \mathrm{rad}.
Logo
\varphi = \beta z_{0} - \omega t_{0}\approx 12{,}5831 - 0{,}62831853 = 11{,}9548\\ \mathrm{rad}.
(é aceitável reduzir módulo 2\pi se quiser; aqui deixei o valor direto.)
Também calculo \theta_\eta\approx 0{,}000999\\ \mathrm{rad} e |\eta|\approx 251{,}36\\ \Omega. Assim a amplitude do campo magnético no z=0 é
H_{0}=\frac{E_{0}}{|\eta|}\approx \frac{20}{251{,}36}\approx 0{,}0796\\ \mathrm{A/m}.

Passo 8

Escrever explicitamente as expressões finais no tempo (substituindo os valores calculados).
Campo elétrico:
\mathbf{E}(z,t)=20\\ e^{-\left(1{,}258\right) z}\cos\!\bigl(6{,}283185307\times10^{10} t - 1258{,}31\, z + 11{,}9548\bigr)\\ \hat{\mathbf{x}}\quad(\mathrm{V/m}).
Campo magnético:
\mathbf{H}(z,t)=0{,}0796\\ e^{-\left(1{,}258\right) z}\cos\!\bigl(6{,}283185307\times10^{10} t - 1258{,}31\, z + 11{,}9548 - 0{,}000999\bigr)\\ \hat{\mathbf{y}}\quad(\mathrm{A/m}).
Pequena observação: a fase de \mathbf{H} está deslocada de \theta_\eta em relação a \mathbf{E} por causa da parte imaginária da impedância; nesse caso o deslocamento é muito pequeno ( \approx 10^{-3}\\ \mathrm{rad}).

Resposta

(a) \alpha\approx 1{,}258\\ \mathrm{Np/m},\\ \beta\approx 1258{,}31\\ \mathrm{rad/m},\\ v_{\mathrm{f}}\approx 4{,}99654\times10^{7}\\ \mathrm{m/s},\\ \lambda\approx 4{,}9965\times10^{-3}\\ \mathrm{m},\\ \eta\approx 251{,}36 + j\,0{,}2509\\ \Omega.
(b) \displaystyle \mathbf{E}(z,t)=20\,e^{-1{,}258\,z}\cos\!\bigl(6{,}283185307\times10^{10}\,t-1258{,}31\,z+11{,}9548\bigr)\,\hat{\mathbf{x}}\\ \mathrm{(V/m)}
\displaystyle \mathbf{H}(z,t)=0{,}0796\,e^{-1{,}258\,z}\cos\!\bigl(6{,}283185307\times10^{10}\,t-1258{,}31\,z+11{,}9548-0{,}000999\bigr)\,\hat{\mathbf{y}}\\ \mathrm{(A/m)}

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