Uma o.p.u. se propaga num material não magnético, sem perdas, com \varepsilon_{\mathrm{r}}=9, sendo \omega=10^{5} \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Calcular \mathbf{H} no ponto P(100 ; 80 ; 500) \mathrm{m} em \mathrm{t}=8 \mu \mathrm{~s} para cada um dos campos:
d) \mathbf{E}_{\mathbf{s}}=600 \exp (-\mathbf{j} \beta \mathrm{x}) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Material não magnético e sem perdas, com \varepsilon_{\mathrm{r}}=9.
  • \omega=10^{5}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Campo elétrico fornecido (no domínio fasorial) para o caso (d): \mathbf{E}_{s}=600\exp(-j\beta x)\,\mathbf{j}.Observação: aqui usa-se j como unidade imaginária e \mathbf{j} como o vetor unitário na direção y.
  • Ponto onde avaliar: P(100;80;500)\\ \mathrm{m} (ou seja, x=100\\ \mathrm{m}).
  • Instante de tempo: t=8\,\mu\mathrm{s}.
O que se pede: calcular \mathbf{H} no ponto P em t=8\,\mu\mathrm{s} (ou seja, encontrar o campo magnético no domínio do tempo naquele local e instante).

Passo 2

Relembrando a relação entre \mathbf{E} e \mathbf{H} para uma onda plana em meio homogêneo e sem perdas: o fasor do campo magnético satisfaz
\mathbf{H}=\frac{1}{\eta}\,\hat{k}\times\mathbf{E},
onde:
  • \eta é a impedância intrínseca do meio, dada por \eta=\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}.
  • \hat{k} é o versor da direção de propagação (direção do vetor de onda).
    No nosso caso, o meio é não magnético ( \mu=\mu_0) e \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}}.
A constante de espaço livre é \eta_0=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}=120\pi\\ \Omega. Logo, para \varepsilon_{\mathrm{r}}=9 (e \mu_{\mathrm{r}}=1):
\eta=\frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}}}=\frac{120\pi}{\sqrt{9}}=\frac{120\pi}{3}=40\pi\\ \Omega.
Fazendo uma aproximação útil,
40\pi\approx 125,66\\ \Omega.

Passo 3

Precisamos também do número de onda \beta. Para meio sem perdas:
\beta=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}=\frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}},
onde c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} é a velocidade da luz no vácuo (aproximadamente 3\cdot10^{8}\\ \mathrm{m/s}). Como \sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}}=\sqrt{9}=3, obtemos
\beta=\frac{\omega}{c}\,3.
Substituindo \omega=10^{5}\\ \mathrm{rad/s} e c\approx 3\cdot10^{8}\\ \mathrm{m/s},
\beta=\frac{10^{5}}{3\cdot10^{8}}\cdot 3=\frac{10^{5}}{10^{8}}=0,001\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 4

Determinar a direção de propagação \hat{k}: a dependência espacial é \exp(-j\beta x), portanto a onda se propaga no sentido positivo do eixo x. Assim
\hat{k}=\mathbf{\hat{i}}.
Agora aplicamos a regra do produto vetorial para achar o fasor de \mathbf{H}:
\hat{k}\times\mathbf{E}=\mathbf{\hat{i}}\times\big(600\exp(-j\beta x)\,\mathbf{\hat{j}}\big) =600\exp(-j\beta x)\,(\mathbf{\hat{i}}\times\mathbf{\hat{j}}).
Como \mathbf{\hat{i}}\times\mathbf{\hat{j}}=\mathbf{\hat{k}}, segue
\hat{k}\times\mathbf{E}=600\exp(-j\beta x)\,\mathbf{\hat{k}}.

Passo 5

Usando a relação \mathbf{H}=\dfrac{1}{\eta}\hat{k}\times\mathbf{E} obtemos o fasor de \mathbf{H}:
\mathbf{H}(x)=\frac{600}{\eta}\exp(-j\beta x)\,\mathbf{\hat{k}}.
Substituindo \eta=40\pi podemos simplificar a constante:
\frac{600}{40\pi}=\frac{15}{\pi}.
Logo o fasor é
\mathbf{H}(x)=\frac{15}{\pi}\exp(-j\beta x)\,\mathbf{\hat{k}}.

Passo 6

Passando para o domínio do tempo (usando convenção fasorial \exp(j\omega t) para recuperar o campo real):
\mathbf{H}(x,t)=\Re\!\left\{\frac{15}{\pi}\exp(-j\beta x)\,e^{j\omega t}\right\}\mathbf{\hat{k}} =\frac{15}{\pi}\cos\big(\omega t-\beta x\big)\,\mathbf{\hat{k}}.
Explicando: multiplicamos o fasor por e^{j\omega t} e tomamos a parte real; o resultado é uma onda harmônica no tempo com amplitude \dfrac{15}{\pi} e fase \omega t-\beta x.

Passo 7

Agora avaliamo-lo em P com x=100\\ \mathrm{m} e t=8\,\mu\mathrm{s}=8\cdot10^{-6}\\ \mathrm{s}.
Calculemos as fases:
\beta x = 0,001\cdot 100 = 0,1\\ \mathrm{rad},
\omega t = 10^{5}\cdot 8\cdot10^{-6}=0,8\\ \mathrm{rad}.
Logo
\omega t-\beta x = 0,8-0,1=0,7\\ \mathrm{rad}.
A amplitude é \dfrac{15}{\pi}. Num valor decimal,
\frac{15}{\pi}\approx 4,774648\\ \mathrm{A/m}.
Portanto,
\mathbf{H}(P,t)=\frac{15}{\pi}\cos(0,7)\,\mathbf{\hat{k}}.
Calculando numericamente \cos(0,7)\approx 0,764842, temos
\frac{15}{\pi}\cos(0,7)\approx 4,774648\cdot 0,764842\approx 3,652\\ \mathrm{A/m}.

Resposta

\mathbf{H}(100,80,500;\,t=8\,\mu\mathrm{s})\approx 3,65\,\mathbf{\hat{k}}\\ \mathrm{A/m}

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