Uma o.p.u. se propaga num material não magnético, sem perdas, com \varepsilon_{\mathrm{r}}=9, sendo \omega=10^{5} \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Calcular \mathbf{H} no ponto P(100 ; 80 ; 500) \mathrm{m} em \mathrm{t}=8 \mu \mathrm{~s} para cada um dos campos:
c) \mathbf{E}_{\mathbf{s}}=600 \exp (\mathrm{j} \beta \mathrm{z}) \mathbf{i}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei o ponto P e as coordenadas do enunciado).
  • O meio é não magnético e sem perdas, com \varepsilon_{\mathrm{r}}=9. Logo \mu_{\mathrm{r}}=1.
  • A pulsação é \omega=10^{5}\\ \mathrm{rad/s}.
  • O campo elétrico phasor (ou dependência espacial complexa) fornecido é \mathbf{E}_{\mathrm{s}}=600\exp\bigl(j\beta z\bigr)\mathbf{i} (unidades: \mathrm{V/m}).
  • O ponto onde se quer \mathbf{H} é P(100;80;500)\\ \mathrm{m}. Portanto a coordenada relevante para a onda que depende de z é z=500\\ \mathrm{m}.
  • O instante de tempo pedido é t=8\\ \mu\mathrm{s}=8\times10^{-6}\\ \mathrm{s}.
  • O objetivo: calcular \mathbf{H} no ponto P no tempo t (ou seja o valor instantâneo, real).

Passo 2

Relembrando e explicando as fórmulas que vou usar (aula rápida, passo a passo).
  • Para uma onda plana que se propaga na direção +\mathbf{k} (aqui \hat{\mathbf{z}}), a relação entre os fasores de campo elétrico e magnético, adotando convenção de tempo e^{j\omega t}, é
\mathbf{H}(\mathbf{r})=\frac{1}{\eta}\,\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}(\mathbf{r}).
Explicando: \eta é a impedância intrínseca do meio (em ohms), \hat{\mathbf{k}} é o versor de propagação (aqui \hat{\mathbf{z}}), e o produto vetorial define a direção de \mathbf{H} de forma que \mathbf{E}\times\mathbf{H} aponta para a direção de propagação.
  • A impedância intrínseca do meio vale
\eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}.
Aqui \mu=\mu_{0}\mu_{\mathrm{r}} e \varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{\mathrm{r}}. Como o meio é não magnético ( \mu_{\mathrm{r}}=1),
\eta=\frac{\eta_{0}}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}}},
onde \eta_{0}\approx 377\\ \Omega é a impedância do vácuo.
  • A constante de propagação (número de onda) para um meio sem perdas é
\beta=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}=\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}\varepsilon_{\mathrm{r}}}.
Como \sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}=1/c, pode-se escrever \beta=(\omega/c)\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}}.
  • Para obter o valor físico no tempo, dado o fasor \mathbf{H}(\mathbf{r}), o instante real é
\mathbf{H}(\mathbf{r},t)=\Re\{\mathbf{H}(\mathbf{r})\,e^{j\omega t}\}.
Explicando: o fasor contém a dependência espacial complexa; multiplicando por e^{j\omega t} e tomando a parte real obtemos o sinal físico instantâneo.

Passo 3

Calcular \beta numericamente.
  • Uso \beta=(\omega/c)\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}}. Com c\approx 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}, \omega=10^{5}\\ \mathrm{rad/s} e \varepsilon_{\mathrm{r}}=9 (logo \sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}}=3):
\beta=\frac{10^{5}}{3\times10^{8}}\times 3=\frac{10^{5}}{10^{8}}=10^{-3}.
Portanto
\beta=0{,}001\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 4

Calcular a impedância \eta.
  • Como \eta=\dfrac{\eta_{0}}{\sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}}} e \eta_{0}\approx 377\\ \Omega, \sqrt{\varepsilon_{\mathrm{r}}}=3, então
\eta=\frac{377}{3}=\frac{377}{3}\\ \Omega\approx 125{,}666\\ \Omega.
Vou manter a fração para exatidão quando conveniente: \eta=\dfrac{377}{3}\\ \Omega.

Passo 5

Determinar a direção de \mathbf{H} e o fasor \mathbf{H}(\mathbf{r}).
  • A onda dada tem \mathbf{E}_{\mathrm{s}}=600\exp\bigl(j\beta z\bigr)\mathbf{i} e propaga-se em +\hat{\mathbf{z}}. Então \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{z}}.
  • O produto vetorial \hat{\mathbf{z}}\times\mathbf{i}=\hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{x}}=\hat{\mathbf{y}} (porque \hat{\mathbf{x}}\times\hat{\mathbf{y}}=\hat{\mathbf{z}}, assim \hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{x}}=\hat{\mathbf{y}}).
  • Aplicando a fórmula dos fasores:
\mathbf{H}(\mathbf{r})=\frac{1}{\eta}\,\hat{\mathbf{z}}\times\mathbf{E}(\mathbf{r}) =\frac{1}{\eta}\,600\exp\bigl(j\beta z\bigr)\,\hat{\mathbf{y}}.
  • Substituindo \eta=\dfrac{377}{3}:
\mathbf{H}(\mathbf{r})=\frac{600}{\eta}e^{j\beta z}\,\hat{\mathbf{y}} =\frac{600}{377/3}e^{j\beta z}\,\hat{\mathbf{y}} =\frac{1800}{377}e^{j\beta z}\,\hat{\mathbf{y}}.
Numérico de amplitude do fasor:
\frac{1800}{377}\approx 4{,}774.
Logo o fasor é
\mathbf{H}(\mathbf{r})\approx 4{,}774\,e^{j\beta z}\,\hat{\mathbf{y}}\quad(\mathrm{A/m}).

Passo 6

Avaliar o fasor no ponto P com z=500\\ \mathrm{m}.
  • Calcular a fase espacial \beta z=\;0{,}001\times500=0{,}5\\ \mathrm{rad}.
  • Portanto o fasor em P é
\mathbf{H}(P)\approx 4{,}774\,e^{j0{,}5}\,\hat{\mathbf{y}}\\ (\mathrm{A/m}).

Passo 7

Converter para o valor instantâneo no tempo t=8\\ \mu\mathrm{s}.
  • Primeiro calcular \omega t: \omega t=10^{5}\times 8\times10^{-6}=0{,}8\\ \mathrm{rad}.
  • A fase total no argumento do cosseno (quando tomamos a parte real) é \beta z+\omega t=0{,}5+0{,}8=1{,}3\\ \mathrm{rad}.
  • Assim o campo magnético instantâneo é
\mathbf{H}(P,t)=\Re\{\mathbf{H}(P)\,e^{j\omega t}\} =\Re\{4{,}774\,e^{j(0{,}5+\omega t)}\}\,\hat{\mathbf{y}} =4{,}774\cos\bigl(0{,}5+\omega t\bigr)\,\hat{\mathbf{y}}.
  • Substituindo \beta z+\omega t=1{,}3:
\mathbf{H}(P,t)=4{,}774\cos(1{,}3)\,\hat{\mathbf{y}}.
  • Calcule \cos(1{,}3)\approx 0{,}267238. Multiplicando:
4{,}774\times 0{,}267238\approx 1{,}275\\ (\mathrm{A/m}).
Portanto o valor instantâneo é aproximadamente
\mathbf{H}(P,t)\approx 1{,}275\,\hat{\mathbf{y}}\\ \mathrm{A/m}.

Resposta

\mathbf{H}(100,80,500,\;8\mu\mathrm{s})\approx 1{,}275\,\mathbf{j}\\ \mathrm{A/m}

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