Uma fiação é feita com um fio de resistividade igual a 2,8 x 10^-8 Omega. m que possui 300 m de comprimento. A área da seção desse fio vale 30 mm^2 e a sua resistência é de R ohms. Um eletricista contratado trocou o fio por outro de resistividade 1,58 times 10^-9 Omega m e de diâmetro igual a 4 mm , a fim de diminuir a resistência oferecida à passagem da corrente. Considerando a situação descrita, pergunta-se:
Qual deveria ser a área da seção do novo fio para que a resistência nova tivesse metade do valor da resistência antiga?

Passo 1

Beleza, aqui o que a questão tá pedindo é: a gente tinha um fio com resistividade ρ₁, comprimento L e área de seção A₁, que gerava uma resistência R₁. Agora trocaram o fio por outro com resistividade ρ₂ e querem que a nova resistência R₂ seja metade de R₁. Precisamos achar a nova área de seção A₂.
Conteúdo: resistividade, fórmula da resistência de um condutor (R = ρ·L/A) e conversão de unidades (mm² ↔ m²).

Passo 2

Primeiro, lembrando a fórmula básica de resistores cilíndricos:
R1 = rho1,LA1 = 2,8times10^-8;Omega!·m ;times;300;m30times10^-6;m^2 .
Para o fio antigo:
ρ₁ =
L =
A₁ =
Logo
(Estamos só montando a expressão, não precisamos do valor numérico exato para achar A₂.)

Passo 3

A condição é que a nova resistência seja metade da antiga:
R2 = R12
Mas também
R2 = rho2,LA2,
onde ρ₂ = rho2,LA2 = 12,rho1,LA1 Longrightarrow A2 = 2,rho2,L,A1rho1,L = 2,rho2rho1,A1 .
Igualando e isolando A₂:

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
A2 = 2 times 1,58times10^-92,8times10^-8 times 30;mm^2
Calculemos o quociente de resistividades:
1,58times10^-92,8times10^-8 = 1,582,8times10^-1 approx 0,05643
Então
A2 approx 2 times 0,05643 times 30 = 3,3858;mm^2

Resposta

A área de seção do novo fio deve ser aproximadamente
boxed3,39;mm^2
para que sua resistência seja metade da resistência antiga.

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