Uma fileira de soldados, marchando a 120 passos por minuto, mantém a sincronia dos passos com o som do tambor feito pelo primeiro soldado da fila. O último soldado da fila está um passo defasado do primeiro soldado da fila. Supondo-se que um passo mede 0,5 \mathrm{~m}, qual a distância entre o primeiro e o último soldado da fila?

Passo 1

O enunciado trata de propagação de som: o primeiro soldado bate o tambor a 120 batidas por minuto, e todos marcham sincronizados com essas batidas. O último soldado ouve cada batida com atraso, ficando um passo “atrasado” em relação ao primeiro. Sabendo que um passo mede 0,5 m, queremos a distância entre o primeiro e o último soldado. Vamos usar conceitos de frequência, período e velocidade do som.

Passo 2

A frequência de batidas é de 120 por minuto, ou seja
f = \frac{120}{60}\\ \text{Hz} = 2\\ \text{Hz}.
O período entre duas batidas consecutivas é
T = \frac{1}{f} = \frac{1}{2}\\ \text{s} = 0{,}5\\ \text{s}.

Passo 3

O fato de o último soldado ficar “um passo” defasado significa que o atraso na chegada do som, \Delta t, é justamente T:
\Delta t = T = 0{,}5\\ \text{s}.

Passo 4

O atraso \Delta t também se relaciona à distância d entre o tambor (primeiro soldado) e o ouvinte (último) pela velocidade do som v_s:
\Delta t = \frac{d}{v_s}.

Passo 5

Adotando a velocidade do som em ar como v_s \approx 340\\ \mathrm{m/s}, vem
d = v_s\,\Delta t = 340\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\times 0{,}5\\ \mathrm{s} = 170\\ \mathrm{m}.
Em número de passos de 0,5 m cada, isso corresponde a
\frac{170\\ \mathrm{m}}{0{,}5\\ \mathrm{m/passos}} = 340\\ \text{passos}.

Resposta

A distância entre o primeiro e o último soldado é de 170\\ \mathrm{m}.

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