Questào 1) Um corpo de prova cilíndrico padrão com 12,8 \mathrm{~mm} de diâmetro e 50 mm de comprimento de uma determinada liga de aço foi submetido a um teste de traçăo onde foi mensurado um módulo de elasticidade de 207 GPa ; um coeficiente de Poisson de 0,3 ; um limite de escoamento de 472 MPa ; um limite de resistência a tração de 745 MPa ; e um alongamento de 22 \%. Dada essas informações, faça o que se pede:
(A) ( 1 Ponto) Se uma força de tração de 40 kN for aplicada a esse corpo de prova haverá deformação plástica ?
(B) (2 Pontos) Qual é o comprimento máximo que o corpo de prova pode apresentar sem sofrer deformação plástica ? Considere que o limite de proporcionalidade é coincidente com a tensão de escoamento.
(C) ( 1 Ponto) Qual foi o comprimento final do corpo de prova ao se fraturar no ensaio?
(D) ( 2 Pontos) Deseja-se que esse corpo de prova apresente uma redução no seu diâmetro de pelo menos 4 \times 10^{-3} \mathrm{~mm}. Qual deve ser a carga de tração aplicada para que seja obtida essa redução de diâmetro, sabendo que o material apresentará apenas deformação elástica até essa redução?
(E) (2 Pontos) Um determinado projeto utilizará esse material no formato de uma barra circular. Nessa aplicação a barra deverá suportar uma carga de tração de 50 kN . Considerando um fator de segurança de 2, qual deverá ser as dimensões mínimas da sessão transversal da barra para ela não escoar?

Passo 1

O enunciado dá um corpo de prova cilíndrico de diâmetro inicial d_{0}=12,8\text{ mm} e comprimento inicial L_{0}=50\text{ mm}, com módulo de Young E=207\text{ GPa}, coeficiente de Poisson \nu=0{,}3, limite de escoamento \sigma_{y}=472\text{ MPa}, resistência à tração \sigma_{u}=745\text{ MPa} e alongamento na fratura de 22\%. Vamos:
A) verificar se, sob F=40\text{ kN}, ocorre plástico;
B) achar o comprimento máximo elástico (até \sigma_{y});
C) calcular o comprimento ao fraturar;
D) achar F para reduzir o diâmetro em 4\times10^{-3}\text{ mm} elasticamente;
E) com carga de 50\text{ kN} e fator de segurança 2, dimensionar a seção circular para não escoar.

Passo 2

Para (A), calculamos a tensão sob F=40\text{ kN}. A área da seção é
A = \frac{\pi d_{0}^{2}}{4} = \frac{\pi\,(12{,}8)^{2}}{4}\approx128{,}6\text{ mm}^{2}.
A tensão é
\sigma = \frac{F}{A} = \frac{40\,000\text{ N}}{128{,}6\text{ mm}^{2}} \approx310{,}9\text{ MPa}.
Como \sigma<\sigma_{y}=472\text{ MPa}, não haverá deformação plástica, só elástica.

Passo 3

Para (B), o máximo alongamento elástico ocorre em \sigma_{y}. A máxima deformação axial é
\varepsilon_{\max} = \frac{\sigma_{y}}{E} = \frac{472\text{ MPa}}{207\,000\text{ MPa}} \approx0{,}00228.
Então a variação de comprimento é
\Delta L_{\max} = \varepsilon_{\max}\,L_{0} = 0{,}00228 \times 50\text{ mm} =0{,}114\text{ mm},
e o comprimento máximo elástico é
L_{\max} = L_{0} + \Delta L_{\max} =50 + 0{,}114 =50{,}114\text{ mm}.

Passo 4

Para (C), o alongamento total até a fratura é 22\%. Logo
\Delta L_{\text{frac}} = 0{,}22 \times 50\text{ mm} =11\text{ mm},
e o comprimento na fratura é
L_{\text{final}} = 50 +11 =61\text{ mm}.

Passo 5

Para (D), queremos redução elástica de diâmetro \Delta d=4\times10^{-3}\text{ mm}. A contração radial é
\Delta d = d_{0}\,\varepsilon_{r} \quad\text{com}\quad \varepsilon_{r} = \nu\,\varepsilon_{a} = \nu\,\frac{\sigma}{E}.
Então
\frac{\Delta d}{d_{0}} = \frac{4\times10^{-3}}{12{,}8} \approx0{,}0003125 = \nu\,\frac{\sigma}{E},
\sigma = \frac{0{,}0003125\,E}{\nu} = \frac{0{,}0003125\times207\,000\text{ MPa}}{0{,}3} \approx215{,}6\text{ MPa}.
A carga correspondente é
F = \sigma\,A =215{,}6\text{ MPa}\times128{,}6\text{ mm}^{2} \approx27\,700\text{ N}\approx27{,}7\text{ kN}.

Passo 6

Para (E), com P=50\text{ kN} e fator de segurança FS=2, a tensão adotada é
\sigma_{\text{adm}} = \frac{\sigma_{y}}{FS} = \frac{472\text{ MPa}}{2} =236\text{ MPa}.
A área mínima é
A_{\min} = \frac{P}{\sigma_{\text{adm}}} = \frac{50\,000\text{ N}}{236\text{ MPa}} \approx212\text{ mm}^{2}.
O diâmetro circular equivalente é
d = \sqrt{\frac{4\,A_{\min}}{\pi}} = \sqrt{\frac{4\times212}{\pi}} \approx16{,}4\text{ mm}.

Resposta

(A) Não, pois \sigma=310{,}9\text{ MPa}<\sigma_{y}=472\text{ MPa}.
(B) L_{\max}=50{,}114\text{ mm}.
(C) L_{\text{final}}=61\text{ mm}.
(D) F\approx27{,}7\text{ kN}.
(E) A_{\min}\approx212\text{ mm}^{2}, ou diâmetro d\approx16{,}4\text{ mm}.

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