Um filtro passa-altas RL em série tem \mathrm{R}=5 \mathrm{k} \Omega e \mathrm{L}=3,5 \mathrm{mH}. Calcule \omega_{c} para esse filtro.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a frequência angular de corte \omega_{c} de um filtro passa-altas RL em série. Dados fornecidos:
  • \mathrm{R}=5\\ \mathrm{k}\Omega.
  • \mathrm{L}=3{,}5\\ \mathrm{mH}.
A pergunta é clara: calcular \omega_{c} para esse filtro.

Passo 2

Entendendo o circuito e a definição de corte (explicação didática e sem pular etapas).
  • Num circuito série R L com entrada V_{\text{in}} aplicada aos dois elementos em série, a saída do filtro passa-altas é tomada normalmente sobre a indutância L. Isso porque a tensão na indutância cresce com a frequência (já que a reatância indutiva aumenta com \omega), sendo pequena em baixas frequências e aproximando-se da tensão de entrada em altas frequências — comportamento típico de um passa-altas.
  • Vamos escrever a função de transferência (divisor de tensão) complexa entre tensão no indutor V_L e V_{\text{in}}. A impedância do indutor é j\omega L e a do resistor é R. Portanto:
H(j\omega)=\frac{V_L}{V_{\text{in}}}=\frac{j\omega L}{R+j\omega L}.
  • Para achar a resposta em magnitude usamos o módulo de H(j\omega). O módulo de um número complexo \dfrac{jX}{a+jX} é
|H(j\omega)|=\frac{\omega L}{\sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}}.
Expliquei: no numerador o módulo de j\omega L é \omega L; no denominador o módulo de R+j\omega L é \sqrt{R^{2}+(\omega L)^{2}}.
  • A frequência angular de corte \omega_{c} é definida como a frequência em que a amplitude da resposta cai para 1/\sqrt{2} do valor de passe (o ganho em decibéis é -3\\ \text{dB}). Assim:
|H(j\omega_{c})|=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Determinar algebraicamente \omega_{c}.
Partindo de
\frac{\omega_{c}L}{\sqrt{R^{2}+(\omega_{c}L)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}},
elevando ao quadrado ambos os lados:
\frac{(\omega_{c}L)^{2}}{R^{2}+(\omega_{c}L)^{2}}=\frac{1}{2}.
Multiplicando:
2(\omega_{c}L)^{2}=R^{2}+(\omega_{c}L)^{2}.
Subtraindo (\omega_{c}L)^{2} de ambos os lados:
(\omega_{c}L)^{2}=R^{2}.
Tomando raiz positiva (frequência angular é positiva):
\omega_{c}L=R \quad\Rightarrow\quad \omega_{c}=\frac{R}{L}.
Comentário didático: essa é uma fórmula muito útil para filtros RL em série com saída no indutor — a frequência angular de corte é simplesmente a razão entre a resistência e a indutância.

Passo 4

Substituir os valores numéricos (convertendo unidades cuidadosamente).
  • Converter \mathrm{R}:
R=5\\ \mathrm{k}\Omega=5{,}0\times10^{3}\\ \Omega.
  • Converter \mathrm{L}:
L=3{,}5\\ \mathrm{mH}=3{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{H}.
  • Calcular \omega_{c}:
\omega_{c}=\frac{R}{L}=\frac{5{,}0\times10^{3}}{3{,}5\times10^{-3}} =\frac{5{,}0}{3{,}5}\times10^{3-(-3)} =1{,}428571\ldots\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.
Arredondando de forma prática para a prova (duas casas significativas razoáveis):
\omega_{c}\approx1{,}43\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.
Observação amiga: se quiser a frequência em hertz, usa-se f_{c}=\dfrac{\omega_{c}}{2\pi}; aqui daria aproximadamente f_{c}\approx2{,}28\times10^{5}\\ \mathrm{Hz} (opcional).

Passo 5

Dicas rápidas para a prova:
  • Lembre que para RL série o passa-altas é obtido pegando a saída no indutor; para pegar um passa-baixas pega-se a saída no resistor.
  • Memorizando \omega_{c}=R/L para RL (com saída no indutor) economiza tempo.
  • Cuidado com unidades: sempre converta k \Omega para \Omega e mH para H antes de dividir.

Resposta

\omega_{c}=1{,}43\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}

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