Um filtro passa-baixas RC em série deve ter uma frequência de corte de 8 kHz . Se \mathrm{R}=10 \mathrm{k} \Omega, determine o valor de C.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede o que está indicado:
  • Frequência de corte: f_c = 8\\ \text{kHz}.
  • Resistência: R = 10\\ \text{k}\Omega.
  • Pedido: determinar o valor do capacitor C que leva o circuito a ter essa frequência de corte.

Passo 2

Conceito útil (passo-a-passo didático): em um filtro RC passa-baixas série, a resposta em frequência pode ser escrita pela função de transferência (em módulo)
|H(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega R C)^2}},
onde:
  • \omega é a frequência angular, em rad/s, relacionada a f por \omega=2\pi f;
  • R é a resistência em ohms ( \Omega);
  • C é a capacitância em farads (F).
A frequência de corte (definida como o ponto onde a saída tem ganho 1/\sqrt{2} do ganho em baixa frequência, isto é -3\\ \text{dB}) ocorre quando \omega R C = 1. Portanto a frequência angular de corte é
\omega_c=\frac{1}{R C}.
Convertendo para frequência em hertz obtemos a fórmula padrão
f_c=\frac{\omega_c}{2\pi}=\frac{1}{2\pi R C}.
Aqui:
  • f_c é a frequência de corte em hertz;
  • R em ohms;
  • C em farads.

Passo 3

Isolando C na fórmula \displaystyle f_c=\frac{1}{2\pi R C} temos:
C=\frac{1}{2\pi R f_c}.
Isto é só rearranjar a equação: multiplicar ambos os lados por C e dividir por f_c, ou inverter ambos os lados e resolver.

Passo 4

Converter os valores dados para unidades do SI:
  • R = 10\\ \text{k}\Omega = 10{,}0\times10^{3}\\ \Omega = 10\,000\\ \Omega.
  • f_c = 8\\ \text{kHz} = 8{,}0\times10^{3}\\ \text{Hz} = 8\,000\\ \text{Hz}.
Substituindo em \displaystyle C=\frac{1}{2\pi R f_c}:
C=\frac{1}{2\pi\cdot 10\,000\cdot 8\,000}.

Passo 5

Calcule passo a passo os valores intermediários:
R f_c = 10\,000\cdot 8\,000 = 80\,000\,000 = 8{,}0\times10^{7}.
2\pi R f_c = 2\pi\cdot 8{,}0\times10^{7} \approx 6{,}283185307\cdot 8{,}0\times10^{7} \approx 5{,}026548246\times10^{8}.
Agora a capacitância:
C=\frac{1}{5{,}026548246\times10^{8}}\\ \text{F}\approx 1{,}988\times10^{-9}\\ \text{F}.
Convém expressar em unidades práticas:
C\approx 1{,}99\\ \text{nF}.
Observação prática: capacitores têm tolerâncias e valores comerciais discretos; um valor comercial comum próximo é 2{,}0\\ \text{nF} (ou usar combinação de valores para ajustar mais precisamente).

Resposta

\;C = 1{,}99\\ \text{nF}

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