Um filtro passa-altas RC em série tem \mathrm{C}=1 \mathrm{mF}. Calcule a frequência de corte para \mathrm{R}=100 \Omega, \mathrm{R}=5 \mathrm{k} \Omega e \mathrm{R}=30 \mathrm{k} \Omega.

Passo 1

O enunciado pede a frequência de corte de um filtro passa-altas RC em série para três valores de resistência, com a capacitância dada. Dados fornecidos:
  • Capacitância: C=1\\ \text{mF}=1\times10^{-3}\\ \text{F} (peguei este valor do enunciado).
  • Três valores de resistência: R=100\\ \Omega, R=5\\ \text{k}\Omega (ou seja, 5000\\ \Omega), R=30\\ \text{k}\Omega (ou seja, 30000\\ \Omega).
    O que se pede: calcular a frequência de corte f_c para cada um desses valores de R.

Passo 2

O que é a frequência de corte e como obtemos a fórmula?
  • Num filtro passa-altas RC em série com o capacitor em série com a fonte e o resistor ligado ao terra (saída no resistor), a saída é a tensão no resistor. Podemos encontrar a função de transferência aplicando a regra do divisor de tensões usando impedâncias complexas.
  • Impedância do capacitor: \,Z_C=\dfrac{1}{j\omega C}, onde \omega é a frequência angular ( \omega=2\pi f) e j é a unidade imaginária.
  • Impedância do resistor: \,Z_R=R.
  • A tensão de saída sobre o resistor é dada por um divisor de tensão:
H(j\omega)=\frac{Z_R}{Z_R+Z_C}=\frac{R}{R+\dfrac{1}{j\omega C}}.
Agora vamos manipular essa expressão para ficar numa forma mais simples.

Passo 3

Algebricamente simplificando H(j\omega):
H(j\omega)=\frac{R}{R+\dfrac{1}{j\omega C}}=\frac{R}{\dfrac{1+j\omega RC}{j\omega C}}=\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}.
  • Essa é a função de transferência complexa do filtro passa-altas.
  • O módulo (ganho em módulo) é
|H(j\omega)|=\frac{\omega RC}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}.
  • A frequência de corte é definida como a frequência onde o ganho em módulo cai para 1/\sqrt{2} do ganho máximo (ponto de -3 dB). Para este filtro isso ocorre quando \omega RC=1. Assim:
\omega_c=\frac{1}{RC}.
  • Convertendo para frequência em Hz usamos \omega_c=2\pi f_c, logo
f_c=\frac{1}{2\pi RC}.
Expliquei cada variável: f_c é a frequência de corte em hertz, R é a resistência em ohms, C é a capacitância em farads, e \pi é a constante pi.

Passo 4

Agora calculamos numericamente com C=1\times10^{-3}\\ \text{F}.
Caso R=100\\ \Omega:
  • Primeiro o produto RC:
RC = 100\cdot 1\times10^{-3}=0{,}1\\ \text{s}.
  • Aplicando a fórmula:
f_c=\frac{1}{2\pi RC}=\frac{1}{2\pi\cdot 0{,}1}=\frac{1}{0{,}6283185307\ldots}\approx1{,}591549\\ \text{Hz}.
Arredondando razoavelmente: f_c\approx1{,}59\\ \text{Hz}.

Passo 5

Caso R=5\\ \text{k}\Omega=5000\\ \Omega:
  • Produto RC:
RC = 5000\cdot 1\times10^{-3}=5\\ \text{s}.
  • Frequência de corte:
f_c=\frac{1}{2\pi\cdot 5}=\frac{1}{31{,}41592654\ldots}\approx0{,}03183099\\ \text{Hz}.
Arredondando: f_c\approx0{,}0318\\ \text{Hz}.

Passo 6

Caso R=30\\ \text{k}\Omega=30000\\ \Omega:
  • Produto RC:
RC = 30000\cdot 1\times10^{-3}=30\\ \text{s}.
  • Frequência de corte:
f_c=\frac{1}{2\pi\cdot 30}=\frac{1}{188{,}4955592\ldots}\approx0{,}00530516\\ \text{Hz}.
Arredondando: f_c\approx0{,}00531\\ \text{Hz}.

Passo 7

Interpretação rápida e dica para prova:
  • Note que conforme R aumenta, o produto RC aumenta e a frequência de corte diminui (intuitivo: o circuito fica “mais lento” e só bloqueia frequências ainda mais baixas).
  • Para fazer esses cálculos na prova sem calculadora, calcule primeiro RC (é só multiplicar) e depois use uma tabela mental/estimativa de 1/(2\pi x) para valores simples, ou calcule passo a passo como fiz acima.

Resposta

R=100\\ \Omega:\\ f_c\approx1{,}59\\ \text{Hz}
R=5\\ \text{k}\Omega:\\ f_c\approx0{,}0318\\ \text{Hz}
R=30\\ \text{k}\Omega:\\ f_c\approx0{,}00531\\ \text{Hz}

Exercícios relacionados