Projete um filtro passa-altas com um ganho 5 em alta frequência e uma frequência de corte de 2 kHz . Use um capacitor de 0,1 \mu \mathrm{~F} em seu projeto.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedido: projetar um filtro passa-altas com ganho igual a 5 em altas frequências e com frequência de corte 2\\ \text{kHz}.
  • Restrição: usar um capacitor de 0,1\\ \mu\mathrm{F}.
  • Informação implícita: quer-se um filtro que tenha ganho unitário (ou outro valor) em baixa frequência? Não — o enunciado exige ganho 5 em alta frequência, então precisamos de um estágio ativo (op‑amp) que forneça ganho quando o filtro estiver acima de f_c.
  • Resultado esperado: indicar os valores dos componentes (resistores e o capacitor) e explicar como o circuito funciona.

Passo 2

Escolhendo a topologia básica e a fórmula do corte (parte passiva):
  • Topologia simples e prática para prova: um filtro passa-altas de primeira ordem seguido por um amplificador não inversor (ou melhor: um filtro passa-altas ativo não-inversor integrado). A forma mais simples é colocar o capacitor em série com a entrada, depois um resistor R de realimentação para terra no nó que alimenta a entrada não inversora do op‑amp. O op‑amp em configuração não-inversora define o ganho em altas frequências.
  • Fórmula do polo único (passa-altas RC): a frequência de corte (ponto -3 dB) de um circuito RC passa-altas é dada por
f_c=\frac{1}{2\pi R C},
onde:
  • f_c é a frequência de corte em hertz,
  • R é o resistor que vai do nó de entrada ao terra (em ohms),
  • C é o capacitor em série com a entrada (em farads).
  • Vamos isolar R:
R=\frac{1}{2\pi f_c C}.
  • Substituindo os valores dados ( f_c=2\\ \text{kHz} e C=0,1\\ \mu\mathrm{F}):
R=\frac{1}{2\pi\cdot 2000\cdot 0,1\times 10^{-6}}.
Agora calculamos passo a passo:
2\pi\cdot 2000 = 12566{,}3706\ldots
2\pi\cdot 2000\cdot 0,1\times 10^{-6}=12566{,}3706\times 10^{-7}=0,00125663706
R=\frac{1}{0,00125663706}\approx 795{,}775\\ \Omega.
  • Conclusão desta etapa: teoricamente R\approx 795{,}8\\ \Omega. Em prototipagem escolhemos um valor comercial próximo (ver passo seguinte).

Passo 3

Como obter o ganho 5 em altas frequências (explicação da topologia ativa e derivação da função de transferência):
  • Topologia escolhida: amplificador operacional em configuração não inversora com a entrada não inversora recebendo o sinal através de C em série e o resistor R para terra, conforme descrito antes. A malha de realimentação do op‑amp define o ganho estático em altas frequências.
  • Comportamento intuitivo:
    • Em frequências muito altas o capacitor age como curto e o nó da entrada não inversora vê praticamente V_{in}. O ganho então é o ganho não inversor clássico do op‑amp.
    • Em frequências muito baixas o capacitor bloqueia e a entrada não inversora é puxada a zero por R, logo a saída tende a zero (sinal atenuado).
  • Relação entre os resistores de realimentação e o ganho em alta frequência:
    • Para um amplificador não inversor vale
    A_{HF}=1+\frac{R_f}{R_g},
    onde:
    • A_{HF} é o ganho em altas frequências,
    • R_f é o resistor de realimentação entre saída e entrada inversora,
    • R_g é o resistor entre entrada inversora e terra.
  • Como queremos A_{HF}=5, impõe-se
1+\frac{R_f}{R_g}=5\quad\Rightarrow\quad \frac{R_f}{R_g}=4.

Passo 4

Escolha dos valores práticos dos resistores de realimentação (para obter ganho 5) e justificativa:
  • Podemos escolher R_g=10\\ \text{k}\Omega (valor prático confortável) então
R_f = 4\cdot R_g = 4\cdot 10\\ \text{k}\Omega = 40\\ \text{k}\Omega.
  • Observação prática: 40\\ \text{k}\Omega é facilmente obtido usando resistores comerciais (um único de 39\\ \text{k}\Omega em série com 1\\ \text{k}\Omega, ou duas de 20\\ \text{k}\Omega em série, etc.). Se usar R_f=39\\ \text{k}\Omega com R_g=10\\ \text{k}\Omega o ganho fica
A_{HF}=1+\frac{39\\ \text{k}}{10\\ \text{k}}=1+3{,}9=4{,}9,
o que é muito próximo de 5 e geralmente aceitável em prática de prova/experimento.

Passo 5

Avaliação prática do valor do resistor R (ajuste para valor padrão e efeito na frequência de corte):
  • Valor teórico obtido: R\approx 795{,}8\\ \Omega. Este não é exatamente um valor padrão da série E12, E24 etc. Valores próximos comuns: 820\\ \Omega (E12) ou 787\\ \Omega (E24) — o mais prático é usar 820\\ \Omega.
  • Se usarmos R=820\\ \Omega e C=0,1\\ \mu\mathrm{F}, a frequência de corte real será
f_c=\frac{1}{2\pi\cdot 820\cdot 0,1\times 10^{-6}}.
Calculando:
2\pi\cdot 820\cdot 0,1\times 10^{-6}=2\pi\cdot 820\times 10^{-7}\approx 0,0005152
f_c\approx\frac{1}{0,0005152}\approx 1941\\ \text{Hz}.
  • Comentário: usar 820\\ \Omega desloca f_c de 2000\\ \text{Hz} para cerca de 1941\\ \text{Hz}, uma diferença pequena (≈ 3,%) — perfeitamente aceitável na maioria dos projetos sem ajuste fino.

Passo 6

Função de transferência completa (rápida) e interpretação para a prova:
  • O nó da entrada (não inversora) tem a transferência do divisor série C e R:
V_{+}=V_{in}\cdot\frac{j\omega R C}{1+j\omega R C}.
  • Como o op‑amp está em configuração não inversora, a saída é
V_{out}=\Bigl(1+\frac{R_f}{R_g}\Bigr)\,V_{+}.
  • Portanto a função de transferência global é
H(j\omega)=\frac{V_{out}}{V_{in}}=\Bigl(1+\frac{R_f}{R_g}\Bigr)\cdot\frac{j\omega R C}{1+j\omega R C}.
  • Interpretação: para \omega\to\infty o termo \dfrac{j\omega R C}{1+j\omega R C}\to 1 e H(j\omega)\to 1+R_f/R_g (ganho desejado). Para \omega=\dfrac{1}{R C} (ou f=f_c) a magnitude é \dfrac{A_{HF}}{\sqrt{2}} (ponto -3 dB).

Passo 7

Resumo prático do projeto (como montar e observações finais, estilo “passo a passo na prova”):
  • Componentes propostos:
    • Capacitor de entrada: C=0,1\\ \mu\mathrm{F} (como exigido).
    • Resistor do polo RC: R\approx 796\\ \Omega (valor teórico). Para montagem prática escolha R=820\\ \Omega (valor comercial).
    • Resistores de ganho: R_g=10\\ \text{k}\Omega e R_f=40\\ \text{k}\Omega (ou R_f=39\\ \text{k}\Omega +1\\ \text{k}\Omega se preferir valores do E12).
  • Ligue o circuito assim:
    • Entrada V_{in} -> série C -> nó V_{+}.
    • V_{+} -> resistor R -> terra.
    • V_{+} -> entrada não inversora do op‑amp.
    • Entrada inversora do op‑amp recebe R_f vindo da saída e R_g para terra (configuração não inversora).
  • Alimentação do op‑amp: escolha um op‑amp adequado à sua fonte (por exemplo, LM358 para alimentação simples 0–Vcc; para sinais simétricos usar TL072, etc.). Em prova não costuma pedir op‑amp específico, mas lembre-se de que o op‑amp precisa fornecer o ganho e a largura de banda desejada (ganho 5 a 2 kHz é pequena exigência — quase qualquer op‑amp comum atende).
  • Verificações na prova/experiência:
    • Calcule f_c=1/(2\pi R C) para o R que escolheu.
    • Verifique que 1+R_f/R_g=5.
    • Lembre: se usar R_f=39\\ \text{k}\Omega e R_g=10\\ \text{k}\Omega o ganho real será 4{,}9.

Resposta

Candidatura teórica: R=795{,}8\\ \Omega,\;C=0,1\\ \mu\mathrm{F},\;R_g=10\\ \text{k}\Omega,\;R_f=40\\ \text{k}\Omega (o que dá f_c=2000\\ \text{Hz} e ganho A_{HF}=5).
Sugestão prática: R=820\\ \Omega,\;C=0,1\\ \mu\mathrm{F},\;R_g=10\\ \text{k}\Omega,\;R_f=40\\ \text{k}\Omega (resultado prático f_c\approx1941\\ \text{Hz} e A_{HF}=5).

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