Questão 2) Considerando o retificador de meia onda (RMO) alimentado por uma fonte de tensão senoidal \left(v_{i}(t)=V_{i(p k)} \cdot \operatorname{sen}(\omega t)\right), realize a dedução das expressões usadas para se obter:\nA) O valor médio da tensão de saída \left(\boldsymbol{V}_{\boldsymbol{o}(\boldsymbol{m e d})}\right).\nOBS: para as deduções, fazer a análise pela forma de onda da saída (mediante seu respectivo intervalo de integração), conforme visto em aula. Após isso, em cada caso, desenvolver a integral até encontrar a expressão final.

Passo 1

O que o enunciado pede: deduzir a expressão do valor médio da tensão de saída V_{o(\mathrm{med})} para o retificador de meia onda alimentado por
v_i(t)=V_{i(pk)}\cdot\operatorname{sen}(\omega t).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A fonte é senoidal com amplitude de pico V_{i(pk)} e pulsação \omega.
  • O retificador é de meia onda (apenas a semiciclos positivos aparecem na saída quando o diodo conduz).
  • Deve-se fazer a análise pela forma de onda da saída, identificando os intervalos de integração e desenvolvendo a integral até a expressão final.
Observação importante (informação que será usada na dedução): o modelo do diodo não foi explicitado no enunciado. Vou apresentar a dedução para dois casos comuns que aparecem em prova/ aula:
  1. diodo ideal (queda de tensão desprezível);
  2. diodo real com queda direta V_D (modelo mais geral).

Passo 2

Definição do valor médio: o valor médio (média aritmética sobre um período) de v_o(t)\) é \[V_{o(\mathrm{med})}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v_o(t)\,dt,
onde T é o período da fonte senoidal. Como \omega=\dfrac{2\pi}{T}, tem-se T=\dfrac{2\pi}{\omega}.
Para simplificar a integral é conveniente mudar a variável para o ângulo \theta=\omega t. Assim dt=\dfrac{d\theta}{\omega} e o intervalo t\in[0,T] vira \theta\in[0,2\pi]. A expressão da média fica
V_{o(\mathrm{med})}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v_o(t)\,dt =\frac{\omega}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} v_o\!\left(\frac{\theta}{\omega}\right)\frac{d\theta}{\omega} =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} v_o(\theta)\,d\theta,
onde, por abuso de notação, escrevi v_o(\theta) para v_o(t) em função de \theta.
Caso 1 — diodo ideal: o diodo conduz sempre que v_i(t)>0, ou seja para \theta\in[0,\pi]. Portanto a forma de onda da saída é
v_o(\theta)=\begin{cases} V_{i(pk)}\operatorname{sen}\theta, & 0\le\theta\le\pi,\\[4pt] 0, & \pi<\theta<2\pi. \end{cases}
Substituindo na fórmula da média:
V_{o(\mathrm{med})}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} v_o(\theta)\,d\theta =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} V_{i(pk)}\operatorname{sen}\theta\,d\theta.
Agora desenvolvemos a integral passo a passo. A integral de \operatorname{sen}\theta\] é \(-\cos\theta. Assim
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}\theta\,d\theta=[-\cos\theta]_{0}^{\pi}=-\cos\pi-(-\cos 0) = -(-1)-(-1)=2.
Logo
V_{o(\mathrm{med})}=\frac{1}{2\pi}\cdot V_{i(pk)}\cdot 2=\frac{V_{i(pk)}}{\pi}.
Interpretação rápida: a média de meia onda de uma senoide perfeita (diodo ideal) vale \dfrac{V_{i(pk)}}{\pi}. Esse resultado é clássico e fácil de memorizar.]

Passo 3

Caso 2 — diodo com queda direta V_D (modelo mais realista): agora o diodo só conduz quando v_i(t)>V_D. Em termos de ângulo \theta isso é
V_{i(pk)}\operatorname{sen}\theta > V_D \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{sen}\theta > \frac{V_D}{V_{i(pk)}}.
Defina o ângulo limite
\alpha=\arcsin\!\left(\frac{V_D}{V_{i(pk)}}\right).
Se V_D\ge V_{i(pk)} não há condução e a média é zero; assumimos o caso V_D<V_{i(pk)} para ter condução. A condução ocorre no intervalo de \theta dentro do semiciclo positivo onde \operatorname{sen}\theta ultrapassa V_D/V_{i(pk)}; isso corresponde a
\theta\in[\alpha,\;\pi-\alpha].
Nesses instantes a saída vale v_o(\theta)=V_{i(pk)}\operatorname{sen}\theta - V_D. Fora desse intervalo v_o(\theta)=0.
Aplicando a fórmula da média:
V_{o(\mathrm{med})}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} v_o(\theta)\,d\theta =\frac{1}{2\pi}\int_{\alpha}^{\pi-\alpha}\bigl(V_{i(pk)}\operatorname{sen}\theta - V_D\bigr)\,d\theta.
Desenvolvendo a integral em duas parcelas:
\int_{\alpha}^{\pi-\alpha} V_{i(pk)}\operatorname{sen}\theta\,d\theta =V_{i(pk)}\bigl[-\cos\theta\bigr]_{\alpha}^{\pi-\alpha} =V_{i(pk)}\bigl(-\cos(\pi-\alpha)+\cos\alpha\bigr).
Usando \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, obtemos
\int_{\alpha}^{\pi-\alpha} V_{i(pk)}\operatorname{sen}\theta\,d\theta =V_{i(pk)}\bigl(-(-\cos\alpha)+\cos\alpha\bigr)=2V_{i(pk)}\cos\alpha.
A segunda parcela é simples (integral de constante):
\int_{\alpha}^{\pi-\alpha} V_D\,d\theta = V_D\bigl(\pi-2\alpha\bigr).
Juntando as duas parcelas e lembrando do sinal (era -V_D dentro da integral):
\int_{\alpha}^{\pi-\alpha}\bigl(V_{i(pk)}\operatorname{sen}\theta - V_D\bigr)\,d\theta =2V_{i(pk)}\cos\alpha - V_D\bigl(\pi-2\alpha\bigr).
Dividindo por 2\pi para obter a média:
V_{o(\mathrm{med})}=\frac{1}{2\pi}\Bigl[\,2V_{i(pk)}\cos\alpha - V_D\bigl(\pi-2\alpha\bigr)\Bigr].
Podemos reescrever com \alpha=\arcsin\!\left(\dfrac{V_D}{V_{i(pk)}}\right). Uma forma equivalente, um pouco mais explicita, é
V_{o(\mathrm{med})}=\frac{V_{i(pk)}}{\pi}\cos\alpha - \frac{V_D}{2} + \frac{V_D\,\alpha}{\pi},
com \alpha=\arcsin\!\left(\dfrac{V_D}{V_{i(pk)}}\right). Note os casos-limite:
  • Se V_D=0 então \alpha=0 e a expressão reduz a \dfrac{V_{i(pk)}}{\pi} (o caso ideal do Passo 2).
  • Se V_D\ge V_{i(pk)} então não há condução e V_{o(\mathrm{med})}=0.

Passo 4

Resumo didático e dicas para prova:
  • Sempre comece identificando a forma de onda da saída e os intervalos de condução do diodo (ângulos onde v_i(\theta) gera saída).
  • Troque a variável de tempo por \theta=\omega t para integrar em [0,2\pi] com 1/(2\pi) na média — isso simplifica muito as contas.
  • Para diodo ideal a integral é direta e rápida; para diodo com queda V_D calcule o ângulo limite \alpha=\arcsin(V_D/V_{i(pk)}) e integre entre \alpha e \pi-\alpha.
  • Verifique limites (por exemplo V_D\to 0 e V_D\to V_{i(pk)}) para garantir que a expressão faz sentido.

Resposta

V_{o(\mathrm{med})}=\dfrac{V_{i(pk)}}{\pi} (diodo ideal)
V_{o(\mathrm{med})}=\dfrac{1}{2\pi}\Bigl[\,2V_{i(pk)}\cos\alpha - V_D(\pi-2\alpha)\Bigr], com \alpha=\arcsin\!\left(\dfrac{V_D}{V_{i(pk)}}\right) (diodo com queda V_D).

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