O final da segunda década do século XXI colocou o planeta diante de uma realidade quase inimaginável para as atuais gerações. Como se a vida imitasse a ficção, ficou-se refém de uma pandemia que atravessa todas as fronteiras físicas, institucionais ou sociais. Não é exagero dizer que a COVID-19, presente em todos os noticiários desde o início de 2020, logo se revelou catastrófica. Na economia, as medidas de contenção do flagelo provocaram retração que, ao menos nos primeiros meses, pareceu o limiar de uma crise de dimensões históricas. A produção industrial, que atingira alta fragmentação internacional em vários setores, sofreu, além de declínio na demanda, sérios problemas de abastecimento em insumos e matérias-primas devido à interrupção de atividades nos países fornecedores ou às dificuldades de transporte.
Fonte: Disponível em: file:///C:/Users/Edmar/Downloads/83-Texto%20do%20artigo-193-5-1020211002.pdf. Acesso em: Agosto. 2024. (adaptado).
Sobre a questão de indústria e produção, observe a situação a seguir. Em uma fábrica, o número y de peças produzidas por um operário depende do número x de horas trabalhadas a partir do início do turno ( \mathrm{x}=0 ), e tal produção é dada por \mathrm{y}=-\mathrm{x}^{3}+15 \mathrm{x}^{2}, onde x é dado em horas e y em unidades. Usando o conceito de que o valor médio de uma função, pode ser obtido por:
\frac{1}{b-a} \cdot \int_{a}^{b} f(x) d x
Sendo assim, determine o número médio de peças produzidas no intervalo de horas de \mathrm{x}=1 até \mathrm{x}=5 e assinale a alternativa correta:

Passo 1

O enunciado fornece a produção por operário em função do tempo a partir do início do turno e pede o número médio de peças produzidas no intervalo de horas de x=1 até x=5. Dados e pedido resumidos:
  • Função dada: y=-x^{3}+15x^{2}, onde x está em horas e y em unidades (peças).
  • Intervalo pedido: de x=1 até x=5.
  • Fórmula a usar (informada no enunciado): valor médio de uma função no intervalo [a,b]
\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Pergunta: determinar o número médio de peças produzidas no intervalo [1,5].

Passo 2

Entendendo a fórmula do valor médio: a ideia é “total produzido no intervalo” dividido pelo “tamanho do intervalo”. Em termos de cálculo, o total produzido (acumulação ao longo do tempo) é dado pela integral definida \int_{1}^{5} f(x)\,dx. O tamanho do intervalo é b-a=5-1. Portanto, o valor médio será
\frac{1}{5-1}\int_{1}^{5}(-x^{3}+15x^{2})\,dx.
Isso significa que primeiro vamos calcular a integral definida e depois dividir pelo comprimento do intervalo (que é 4 horas). Vou mostrar passo a passo como calcular essa integral sem pular contas.

Passo 3

Montando a integral específica:
\text{média}=\frac{1}{5-1}\int_{1}^{5}(-x^{3}+15x^{2})\,dx=\frac{1}{4}\int_{1}^{5}(-x^{3}+15x^{2})\,dx.é

Passo 4

Calcular a primitiva (antiderivada) de f(x)=-x^{3}+15x^{2}. Usamos a regra do poder: \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq-1.
  • Para -x^{3}: \int -x^{3}\,dx = -\dfrac{x^{4}}{4}.
  • Para 15x^{2}: \int 15x^{2}\,dx = 15\cdot\dfrac{x^{3}}{3}=5x^{3}.
    Assim uma primitiva conveniente é
F(x)=-\dfrac{x^{4}}{4}+5x^{3}.

Passo 5

Avaliar a integral definida usando F:
\int_{1}^{5}(-x^{3}+15x^{2})\,dx = F(5)-F(1).
Calcule F(5):
F(5)=-\dfrac{5^{4}}{4}+5\cdot 5^{3}=-\dfrac{625}{4}+5\cdot125=-\dfrac{625}{4}+625.
Escrevendo 625 com denominador 4:
625=\dfrac{625\cdot 4}{4}=\dfrac{2500}{4},
então
F(5)=-\dfrac{625}{4}+\dfrac{2500}{4}=\dfrac{1875}{4}.
Calcule F(1):
F(1)=-\dfrac{1^{4}}{4}+5\cdot1^{3}=-\dfrac{1}{4}+5=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{20}{4}=\dfrac{19}{4}.
Agora a integral:
\int_{1}^{5}(-x^{3}+15x^{2})\,dx = F(5)-F(1)=\dfrac{1875}{4}-\dfrac{19}{4}=\dfrac{1856}{4}=464.

Passo 6

Agora aplicamos o fator \dfrac{1}{4} (pois b-a=4):
\text{média}=\frac{1}{4}\cdot 464 = 116.é
Interpretação: isso significa que, em média, foram produzidas 116 peças por operário no intervalo entre a 1ª e a 5ª hora.

Resposta

116 peças.

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