O final da segunda década do século XXI colocou o planeta diante de uma realidade quase inimaginável para as atuais gerações. Como se a vida imitasse a ficção, ficou-se refém de uma pandemia que atravessa todas as fronteiras físicas, institucionais ou sociais. Não é exagero dizer que a COVID-19, presente em todos os noticiários desde o início de 2020, logo se revelou catastrófica. Na economia, as medidas de contenção do flagelo provocaram retração que, ao menos nos primeiros meses, pareceu o limiar de uma crise de dimensões históricas. A produção industrial, que atingira alta fragmentação internacional em vários setores, sofreu, além de declínio na demanda, sérios problemas de abastecimento em insumos e matérias-primas devido à interrupção de atividades nos países fornecedores ou às dificuldades de transporte.
Fonte: Disponível em: file:///C:/Users/Edmar/Downloads/83-Texto%20do%20artigo-193-5-1020211002.pdf. Acesso em: Agosto. 2024. (adaptado).
Sobre a questão de indústria e produção, observe a situação a seguir. Em uma fábrica, o número y de peças produzidas por um operário depende do número x de horas trabalhadas a partir do início do turno (
), e tal produção é dada por
, onde x é dado em horas e y em unidades. Usando o conceito de que o valor médio de uma função, pode ser obtido por:
Sendo assim, determine o número médio de peças produzidas no intervalo de horas de
até
e assinale a alternativa correta:
Passo 1
O enunciado fornece a produção por operário em função do tempo a partir do início do turno e pede o número médio de peças produzidas no intervalo de horas de
até
. Dados e pedido resumidos:
- Função dada:
, onde está em horas e em unidades (peças). - Intervalo pedido: de
até . - Fórmula a usar (informada no enunciado): valor médio de uma função no intervalo
Pergunta: determinar o número médio de peças produzidas no intervalo
.
Passo 2
Entendendo a fórmula do valor médio: a ideia é “total produzido no intervalo” dividido pelo “tamanho do intervalo”. Em termos de cálculo, o total produzido (acumulação ao longo do tempo) é dado pela integral definida
. O tamanho do intervalo é
. Portanto, o valor médio será
Isso significa que primeiro vamos calcular a integral definida e depois dividir pelo comprimento do intervalo (que é
horas). Vou mostrar passo a passo como calcular essa integral sem pular contas.
Passo 3
Montando a integral específica:
Passo 4
Calcular a primitiva (antiderivada) de
. Usamos a regra do poder:
para
.
- Para
: . - Para
: .
Assim uma primitiva conveniente é
Passo 5
Avaliar a integral definida usando
:
Calcule
:
Escrevendo
com denominador
:
então
Calcule
:
Agora a integral:
Passo 6
Agora aplicamos o fator
(pois
):
Interpretação: isso significa que, em média, foram produzidas
peças por operário no intervalo entre a 1ª e a 5ª hora.