Empresas procuram maximizar seus lucros, dado sua tecnologia, preço do trabalho, preço do capital, preço dos recursos naturais, e preço da terra. Maximizar lucro, porém, pode significar aumento da produção. O lucro é a diferença entre receitas obtidas pela venda do produto ao preço de mercado, e os custos de produzi-las. Receita total é o quanto a empresa recebe pela venda do produto, ao preço de mercado. Como as empresas estão num mercado competitivo, os preços são constantes e dados pelo mercado. Já o custo total, são gastos com máquinas, equipamentos e outros capitais produtivos, como também os custos com mão-de-obra e insumos necessários para produzir bens. Eles aumentam à medida que as unidades são produzidas.
Fonte: Disponível em: https://www.neema.ufc.br/Ern_cap2_parte2.htm. Acesso em: Agosto. 2024. (adaptado).
Sobre as relações envolvendo, receita, custos e lucro, em uma empresa a receita R, para a comercialização de um produto é dada pela função
, em que
representa a quantidade, em milhares de unidades de produtos vendidos. Já o custo para se produzir q quantidades do produto, pode ser representado pela função
, sendo
o custo e
a quantidade, em milhares de unidades de produtos produzidos. Com base nessas informações, avalie as afirmativas a seguir:
I. Para a quantidade
, a receita e o custo apresentam o mesmo valor.
II. Sabendo que a função lucro, pode ser obtida pela diferença entre a função receita e a função custo, então a função lucro pode ser representada por
.
III. Na quantidade
, tem-se o maior lucro na venda dos produtos.
IV. Quando se vende a quantidade
, o lucro é igual a 60 .
É correto o que se afirma em:
I. Para a quantidade
II. Sabendo que a função lucro, pode ser obtida pela diferença entre a função receita e a função custo, então a função lucro pode ser representada por
III. Na quantidade
IV. Quando se vende a quantidade
Passo 1
O enunciado fornece as funções e pede para analisar quatro afirmativas. Informações dadas:
- A receita total é dada por
, onde é a quantidade (em milhares de unidades). - O custo total é dado por
, com na mesma unidade. - Devemos avaliar as afirmações:
I. Para, a receita e o custo têm o mesmo valor.
II. A função lucro, sendo receita menos custo, é .
III. Emtem-se o maior lucro na venda dos produtos.
IV. Para, o lucro é igual a .
Passo 2
Vamos verificar a afirmativa I calculando receita e custo em
.
- Calcular a receita:
. - Calcular o custo:
.
Comentário didático: aqui fiz multiplicações e uma soma simples. Note que os dois resultados coincidem, portanto na quantidade
receita e custo têm o mesmo valor (ponto de equilíbrio). Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Passo 3
Agora obtemos a função lucro. Definição: lucro é receita menos custo, ou seja
. Substituindo as expressões dadas:
Efetuando a subtração termo a termo:
Explicação didática: ao subtrair, você combina os termos semelhantes (os que têm
) e mantém o constante. O coeficiente
é a taxa à qual o lucro muda quando aumenta
(slope). Conclusão: a afirmativa II, que diz
, é verdadeira.
Passo 4
Entendendo o comportamento da função lucro
. Esta é uma função linear do tipo
com
e
.
- O coeficiente angular
é positivo, então a função é crescente em : à medida que aumenta, aumenta.
Didática: uma função linear crescente não tem “máximo” interno — o lucro cresce indefinidamente comenquanto puder aumentar no domínio considerado. Portanto a afirmativa III (“em tem-se o maior lucro”) é falsa, porque não há razão para que seja o máximo; é apenas o ponto onde o lucro pode ser, por exemplo, zero (break-even).
Para confirmar, calculemos:
Interpretação: em
o lucro é zero (empresa cobre custos, não obtém lucro), então definitivamente não é o maior lucro. Conclusão: III é falsa.
Passo 5
Verifiquemos a afirmativa IV calculando o lucro em
.
Portanto o lucro é
(nas mesmas unidades monetárias usadas nas funções), então a afirmativa IV é verdadeira.
Passo 6
Resumo das verificações (verdadeiro/falso) de cada item:
- I: verdadeiro (
). - II: verdadeiro (
). - III: falso (
é crescente; não é o máximo ). - IV: verdadeiro (
).
Resposta
I, II e IV.