Empresas procuram maximizar seus lucros, dado sua tecnologia, preço do trabalho, preço do capital, preço dos recursos naturais, e preço da terra. Maximizar lucro, porém, pode significar aumento da produção. O lucro é a diferença entre receitas obtidas pela venda do produto ao preço de mercado, e os custos de produzi-las. Receita total é o quanto a empresa recebe pela venda do produto, ao preço de mercado. Como as empresas estão num mercado competitivo, os preços são constantes e dados pelo mercado. Já o custo total, são gastos com máquinas, equipamentos e outros capitais produtivos, como também os custos com mão-de-obra e insumos necessários para produzir bens. Eles aumentam à medida que as unidades são produzidas.
Fonte: Disponível em: https://www.neema.ufc.br/Ern_cap2_parte2.htm. Acesso em: Agosto. 2024. (adaptado).
Sobre as relações envolvendo, receita, custos e lucro, em uma empresa a receita R, para a comercialização de um produto é dada pela função R(q)=8 . q, em que q representa a quantidade, em milhares de unidades de produtos vendidos. Já o custo para se produzir q quantidades do produto, pode ser representado pela função C(q)=3 q+90, sendo C o custo e q a quantidade, em milhares de unidades de produtos produzidos. Com base nessas informações, avalie as afirmativas a seguir:
I. Para a quantidade q=18, a receita e o custo apresentam o mesmo valor.
II. Sabendo que a função lucro, pode ser obtida pela diferença entre a função receita e a função custo, então a função lucro pode ser representada por L(q)=5 q-90.
III. Na quantidade q=18, tem-se o maior lucro na venda dos produtos.
IV. Quando se vende a quantidade q=30, o lucro é igual a 60 .
É correto o que se afirma em:

Passo 1

O enunciado fornece as funções e pede para analisar quatro afirmativas. Informações dadas:
  • A receita total é dada por R(q)=8q, onde q é a quantidade (em milhares de unidades).
  • O custo total é dado por C(q)=3q+90, com q na mesma unidade.
  • Devemos avaliar as afirmações:
    I. Para q=18, a receita e o custo têm o mesmo valor.
    II. A função lucro L(q), sendo receita menos custo, é L(q)=5q-90.
    III. Em q=18 tem-se o maior lucro na venda dos produtos.
    IV. Para q=30, o lucro é igual a 60.

Passo 2

Vamos verificar a afirmativa I calculando receita e custo em q=18.
  • Calcular a receita: R(18)=8\cdot 18. R(18)=8\cdot 18=144.
  • Calcular o custo: C(18)=3\cdot 18+90. C(18)=54+90=144.
Comentário didático: aqui fiz multiplicações e uma soma simples. Note que os dois resultados coincidem, portanto na quantidade q=18 receita e custo têm o mesmo valor (ponto de equilíbrio). Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.

Passo 3

Agora obtemos a função lucro. Definição: lucro é receita menos custo, ou seja L(q)=R(q)-C(q). Substituindo as expressões dadas:
L(q)=8q-(3q+90).
Efetuando a subtração termo a termo:
L(q)=8q-3q-90=5q-90.
Explicação didática: ao subtrair, você combina os termos semelhantes (os que têm q) e mantém o constante. O coeficiente 5 é a taxa à qual o lucro muda quando aumenta q (slope). Conclusão: a afirmativa II, que diz L(q)=5q-90, é verdadeira.

Passo 4

Entendendo o comportamento da função lucro L(q)=5q-90. Esta é uma função linear do tipo L(q)=aq+b com a=5 e b=-90.
  • O coeficiente angular a=5 é positivo, então a função é crescente em q: à medida que q aumenta, L(q) aumenta.
    Didática: uma função linear crescente não tem “máximo” interno — o lucro cresce indefinidamente com q enquanto q puder aumentar no domínio considerado. Portanto a afirmativa III (“em q=18 tem-se o maior lucro”) é falsa, porque não há razão para que q=18 seja o máximo; é apenas o ponto onde o lucro pode ser, por exemplo, zero (break-even).
    Para confirmar, calculemos L(18):
L(18)=5\cdot 18-90=90-90=0.
Interpretação: em q=18 o lucro é zero (empresa cobre custos, não obtém lucro), então definitivamente não é o maior lucro. Conclusão: III é falsa.

Passo 5

Verifiquemos a afirmativa IV calculando o lucro em q=30.
L(30)=5\cdot 30-90=150-90=60.
Portanto o lucro é 60 (nas mesmas unidades monetárias usadas nas funções), então a afirmativa IV é verdadeira.

Passo 6

Resumo das verificações (verdadeiro/falso) de cada item:
  • I: verdadeiro ( R(18)=C(18)=144 ).
  • II: verdadeiro ( L(q)=5q-90 ).
  • III: falso ( L(q) é crescente; L(18)=0 não é o máximo ).
  • IV: verdadeiro ( L(30)=60 ).

Resposta

I, II e IV.

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