Find all second-order partial derivatives of
Passo 1
O enunciado nos dá a função
O que é pedido: encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem, isto é:
Não há outros dados numéricos; a função está explícita e suave (todas as derivadas necessárias existem).
Passo 2
Rápida revisão das ferramentas que vamos usar (explicadinha, como um amigo ajudando):
- Definição de derivada parcial: a derivada parcial de
em relação a trata como constante:
- Regra do produto (para derivar
em relação a ):
- Regra da cadeia (para derivar
em relação a ):
Vamos aplicar essas regras passo a passo para achar primeiro as derivadas de primeira ordem e depois as de segunda ordem.
Passo 3
Calcular
.
- Derivada de
em relação a : aqui é constante, então . - Derivada de
em relação a : apliquei a regra da cadeia com e . Assim
Somando as duas partes:
Passo 4
Calcular
.
- Derivada de
em relação a : é constante aqui, então . - Derivada de
em relação a : pela regra da cadeia,
Somando:
Passo 5
Definição de derivadas parciais de segunda ordem que vamos calcular:
Observação útil: para funções suficientemente suaves (como a nossa, soma de polinômio e função trig composta), os dois mistas são iguais por teorema de Schwarz (Clairaut). Mesmo assim, vamos calcular ambos para praticar.
Passo 6
Calcular
.
Partimos de .
Partimos de
- Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : aqui é constante multiplicando, então
Somando:
Passo 7
Calcular
.
Partimos de .
Partimos de
- Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : é constante multiplicando, então
Somando:
Passo 8
Calcular
(derivar
em relação a
).
Partimos de .
Partimos de
- Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : aplicar regra do produto , :
Ou seja
.
Somando:
Somando:
Passo 9
Calcular
(derivar
em relação a
).
Partimos de .
Partimos de
- Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : regra do produto , :
Ou seja
.
Somando:
Somando:
Passo 10
Conferência: os dois mistas são iguais, conforme esperado:
Pronto — todas as segundas derivadas foram calculadas.