Find all second-order partial derivatives of
f(x, y)=x^{3} y^{2}+\sin (x y)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^{3}y^{2}+\sin(xy)
O que é pedido: encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem, isto é:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}},\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y},\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}.
Não há outros dados numéricos; a função está explícita e suave (todas as derivadas necessárias existem).

Passo 2

Rápida revisão das ferramentas que vamos usar (explicadinha, como um amigo ajudando):
  • Definição de derivada parcial: a derivada parcial de f em relação a x trata y como constante:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
  • Regra do produto (para derivar u(x,y)v(x,y) em relação a x):
\frac{\partial}{\partial x}\big(u v\big)=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
  • Regra da cadeia (para derivar g(h(x,y)) em relação a x):
\frac{\partial}{\partial x}g(h(x,y))=g'(h(x,y))\cdot\frac{\partial h}{\partial x}(x,y).
Vamos aplicar essas regras passo a passo para achar primeiro as derivadas de primeira ordem e depois as de segunda ordem.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Derivada de x^{3}y^{2} em relação a x: aqui y é constante, então \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{3}y^{2})=3x^{2}y^{2}.
  • Derivada de \sin(xy) em relação a x: apliquei a regra da cadeia com g(t)=\sin t e t=xy. Assim
\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)=\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy)=\cos(xy)\cdot y.
Somando as duas partes:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^{2}y^{2}+y\cos(xy).

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Derivada de x^{3}y^{2} em relação a y: x^{3} é constante aqui, então \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{3}y^{2})=x^{3}\cdot 2y=2x^{3}y.
  • Derivada de \sin(xy) em relação a y: pela regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial y}\sin(xy)=\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy)=\cos(xy)\cdot x.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2x^{3}y+x\cos(xy).

Passo 5

Definição de derivadas parciais de segunda ordem que vamos calcular:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{\partial f}{\partial x}\Big),\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{\partial f}{\partial y}\Big),
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\Big(\frac{\partial f}{\partial x}\Big),\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{\partial f}{\partial y}\Big).
Observação útil: para funções suficientemente suaves (como a nossa, soma de polinômio e função trig composta), os dois mistas são iguais por teorema de Schwarz (Clairaut). Mesmo assim, vamos calcular ambos para praticar.

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}.
Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{2}+y\cos(xy).
  • Derivada de 3x^{2}y^{2} em relação a x: 6xy^{2}.
  • Derivada de y\cos(xy) em relação a x: aqui y é constante multiplicando, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(y\cos(xy)\big)=y\cdot\frac{\partial}{\partial x}\cos(xy)=y\cdot\big(-\sin(xy)\big)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy)=y\cdot(-\sin(xy))\cdot y=-y^{2}\sin(xy).
Somando:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)=6x y^{2}-y^{2}\sin(xy).

Passo 7

Calcular \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}.
Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial y}=2x^{3}y+x\cos(xy).
  • Derivada de 2x^{3}y em relação a y: 2x^{3}.
  • Derivada de x\cos(xy) em relação a y: x é constante multiplicando, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(x\cos(xy)\big)=x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\cos(xy)=x\cdot(-\sin(xy))\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy)=x\cdot(-\sin(xy))\cdot x=-x^{2}\sin(xy).
Somando:
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)=2x^{3}-x^{2}\sin(xy).

Passo 8

Calcular \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} (derivar \partial f/\partial x em relação a y).
Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y^{2}+y\cos(xy).
  • Derivada de 3x^{2}y^{2} em relação a y: 6x^{2}y.
  • Derivada de y\cos(xy) em relação a y: aplicar regra do produto u=y, v=\cos(xy):
\frac{\partial}{\partial y}\big(y\cos(xy)\big)=1\cdot\cos(xy)+y\cdot\frac{\partial}{\partial y}\cos(xy)=\cos(xy)+y\cdot(-\sin(xy))\cdot x.
Ou seja \cos(xy)-x y\sin(xy).
Somando:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)=6x^{2}y+\cos(xy)-x y\sin(xy).

Passo 9

Calcular \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} (derivar \partial f/\partial y em relação a x).
Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial y}=2x^{3}y+x\cos(xy).
  • Derivada de 2x^{3}y em relação a x: 6x^{2}y.
  • Derivada de x\cos(xy) em relação a x: regra do produto u=x, v=\cos(xy):
\frac{\partial}{\partial x}\big(x\cos(xy)\big)=1\cdot\cos(xy)+x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\cos(xy)=\cos(xy)+x\cdot(-\sin(xy))\cdot y.
Ou seja \cos(xy)-x y\sin(xy).
Somando:
\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y)=6x^{2}y+\cos(xy)-x y\sin(xy).

Passo 10

Conferência: os dois mistas são iguais, conforme esperado:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=6x^{2}y+\cos(xy)-xy\sin(xy).
Pronto — todas as segundas derivadas foram calculadas.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=6x y^{2}-y^{2}\sin(xy)
\displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=2x^{3}-x^{2}\sin(xy)
\displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=6x^{2}y+\cos(xy)-xy\sin(xy)
\displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=6x^{2}y+\cos(xy)-xy\sin(xy)

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