Determine whether the limit exists:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede: determinar se existe o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}.
  • Informação fornecida: a função f(x,y)=\dfrac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} está definida para todos os pares (x,y) com (x,y)\neq(0,0). Quer-se o comportamento de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0).
  • Objetivo final: decidir se esse limite existe e, se existir, encontrar o seu valor.

Passo 2

Teste por caminhos simples (checar algumas direções para ganhar intuição).
  • Se y=0, então
\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}\cdot 0}{x^{2}+0}=0.
Ao aproximar x\to0 obtemos 0.
  • Se x=0, então
\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{0\cdot y}{0+y^{2}}=0.
Ao aproximar y\to0 obtemos 0.
  • Se y=m x (reta passando pela origem, com m constante), substituindo:
\frac{x^{2}(m x)}{x^{2}+(m x)^{2}}=\frac{m x^{3}}{x^{2}(1+m^{2})}=\frac{m x}{1+m^{2}}\xrightarrow[x\to0]{}0.
Observação: todos esses testes dão 0, mas testar só caminhos não prova que o limite existe para todas as trajetórias; é apenas intuição. Precisamos de um argumento geral.

Passo 3

Trocar para coordenadas polares — por que isso ajuda e como fazer.
  • Em coordenadas polares definimos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge 0 e \theta é o ângulo. Quando (x,y)\to(0,0) isso equivale a r\to 0^{+} (o ângulo \theta pode variar livremente).
  • Substituindo na função:
x^{2}y=(r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta)=r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta,
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Logo a função fica
\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta}{r^{2}}=r\cos^{2}\theta\sin\theta.

Passo 4

Aplicar desigualdade e o Teorema do Aperto (squeeze theorem).
  • Calcular o valor absoluto:
\left|\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right|=\left|r\cos^{2}\theta\sin\theta\right|=r\cdot\cos^{2}\theta\cdot|\sin\theta|.
  • Como \cos^{2}\theta\le 1 e |\sin\theta|\le 1 para todo \theta, temos
\left|\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right|\le r.
  • Quando (x,y)\to(0,0) temos r\to 0. Pelo Teorema do Aperto, se uma função g(r,\theta) satisfaz |g(r,\theta)|\le r e r\to 0, então g(r,\theta)\to 0. Assim
\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\xrightarrow[(x,y)\to(0,0)]{}0.

Passo 5

Interpretação intuitiva e conclusão rigorosa.
  • Intuitivamente, em termos de r o numerador tem ordem r^{3} (porque x^{2}y\sim r^{3}) e o denominador tem ordem r^{2}, então a razão tem ordem r e tende a 0 quando r\to0.
  • O argumento em coordenadas polares+desigualdade é rigoroso e não depende da direção \theta. Portanto o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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