Informação fornecida: a função f(x,y)=\dfrac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} está definida para todos os pares (x,y) com (x,y)\neq(0,0). Quer-se o comportamento de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0).
Objetivo final: decidir se esse limite existe e, se existir, encontrar o seu valor.
Passo 2
Teste por caminhos simples (checar algumas direções para ganhar intuição).
Observação: todos esses testes dão 0, mas testar só caminhos não prova que o limite existe para todas as trajetórias; é apenas intuição. Precisamos de um argumento geral.
Passo 3
Trocar para coordenadas polares — por que isso ajuda e como fazer.
Em coordenadas polares definimos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge 0 e \theta é o ângulo. Quando (x,y)\to(0,0) isso equivale a r\to 0^{+} (o ângulo \theta pode variar livremente).
Como \cos^{2}\theta\le 1 e |\sin\theta|\le 1 para todo \theta, temos
\left|\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right|\le r.
Quando (x,y)\to(0,0) temos r\to 0. Pelo Teorema do Aperto, se uma função g(r,\theta) satisfaz |g(r,\theta)|\le r e r\to 0, então g(r,\theta)\to 0. Assim
Intuitivamente, em termos de r o numerador tem ordem r^{3} (porque x^{2}y\sim r^{3}) e o denominador tem ordem r^{2}, então a razão tem ordem r e tende a 0 quando r\to0.
O argumento em coordenadas polares+desigualdade é rigoroso e não depende da direção \theta. Portanto o limite existe e vale 0.