Find the absolute maximum and absolute minimum values of
on the given interval.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos de
no intervalo dado. Informações fornecidas:
As perguntas são: qual é o máximo absoluto de
em
(valor e ponto onde ocorre) e qual é o mínimo absoluto de
em
.
Passo 2
Para encontrar máximos e mínimos absolutos em um intervalo fechado, precisamos comparar:
- valores de
em pontos críticos (onde ou não existe) que pertençam ao intervalo; - valores de
nos extremos do intervalo (aqui e ).
Primeiro vamos calcular a derivada
. Aqui usamos duas regras:
- Regra do produto: se
e , então . - Regra da cadeia para a exponencial: se
, então . No nosso caso e .
Aplicando essas regras, temos
Como
e
, obtemos
Passo 3
Fatorando
(que nunca é zero), escrevemos
Para achar pontos críticos, resolvemos
. Como
para todo
, a equação reduz-se a
Dos dois, apenas
pertence ao intervalo
(pois
está fora). Portanto o único ponto crítico no intervalo é
. Também devemos avaliar os extremos
e
.
Além disso, podemos ver o sinal de
para confirmar natureza de
: para
temos
então
; para
temos
. No intervalo
isso significa que
é positivo em
e negativo em
, logo
é um ponto de máximo local — bom candidato a máximo absoluto.
Passo 4
Agora avaliamos
em
e nos extremos
e
.
Calculemos exatamente:
Para comparar, podemos também usar aproximações (arredondando a 3 casas decimais):
Dessas três, o maior valor é
e o menor é
. Portanto
é o máximo absoluto e
é o mínimo absoluto no intervalo.
Passo 5
Conclusão final: o máximo absoluto ocorre em
com valor
; o mínimo absoluto ocorre em
com valor
. Fica a dica: sempre cote pontos críticos internos e extremos do intervalo — esse é o passo padrão para esse tipo de exercício. Vai dar certo na prova, respira!
Resposta
Máximo absoluto:
em
.
Mínimo absoluto: em
.
Mínimo absoluto: