Find the absolute maximum and absolute minimum values of f on the given interval.
f(x)=x e^{-x^{2} / 8}, \quad[-1,4]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos de f no intervalo dado. Informações fornecidas:
f(x)=x e^{-x^{2}/8},\quad x\in[-1,4].
As perguntas são: qual é o máximo absoluto de f em [-1,4] (valor e ponto onde ocorre) e qual é o mínimo absoluto de f em [-1,4].

Passo 2

Para encontrar máximos e mínimos absolutos em um intervalo fechado, precisamos comparar:
  • valores de f em pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' não existe) que pertençam ao intervalo;
  • valores de f nos extremos do intervalo (aqui x=-1 e x=4).
Primeiro vamos calcular a derivada f'(x). Aqui usamos duas regras:
  • Regra do produto: se u(x)=x e v(x)=e^{-x^{2}/8}, então (uv)'=u'v+uv'.
  • Regra da cadeia para a exponencial: se v(x)=e^{g(x)}, então v'(x)=g'(x)e^{g(x)}. No nosso caso g(x)=-x^{2}/8 e g'(x)=-x/4.
Aplicando essas regras, temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x\big)\,e^{-x^{2}/8}+x\cdot\frac{d}{dx}\big(e^{-x^{2}/8}\big).
Como \frac{d}{dx}(x)=1 e \frac{d}{dx}\big(e^{-x^{2}/8}\big)=(-x/4)e^{-x^{2}/8}, obtemos
f'(x)=e^{-x^{2}/8}+x\cdot\Big(-\frac{x}{4}e^{-x^{2}/8}\Big).

Passo 3

Fatorando e^{-x^{2}/8} (que nunca é zero), escrevemos
f'(x)=e^{-x^{2}/8}\Big(1-\frac{x^{2}}{4}\Big).
Para achar pontos críticos, resolvemos f'(x)=0. Como e^{-x^{2}/8}>0 para todo x, a equação reduz-se a
1-\frac{x^{2}}{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm 2.
Dos dois, apenas x=2 pertence ao intervalo [-1,4] (pois x=-2 está fora). Portanto o único ponto crítico no intervalo é x=2. Também devemos avaliar os extremos x=-1 e x=4.
Além disso, podemos ver o sinal de f' para confirmar natureza de x=2: para |x|<2 temos 1-\frac{x^{2}}{4}>0 então f'>0; para |x|>2 temos f'<0. No intervalo [-1,4] isso significa que f' é positivo em [-1,2) e negativo em (2,4], logo x=2 é um ponto de máximo local — bom candidato a máximo absoluto.

Passo 4

Agora avaliamos f em x=2 e nos extremos x=-1 e x=4.
Calculemos exatamente:
f(2)=2\;e^{-2^{2}/8}=2\;e^{-4/8}=2\;e^{-1/2}.
f(-1)=-1\;e^{-(-1)^{2}/8}=-e^{-1/8}.
f(4)=4\;e^{-4^{2}/8}=4\;e^{-16/8}=4\;e^{-2}.
Para comparar, podemos também usar aproximações (arredondando a 3 casas decimais):
f(2)=2e^{-1/2}\approx 1,213,\quad f(4)=4e^{-2}\approx 0,541,\quad f(-1)=-e^{-1/8}\approx -0,882.
Dessas três, o maior valor é f(2) e o menor é f(-1). Portanto f(2) é o máximo absoluto e f(-1) é o mínimo absoluto no intervalo.

Passo 5

Conclusão final: o máximo absoluto ocorre em x=2 com valor 2e^{-1/2}; o mínimo absoluto ocorre em x=-1 com valor -e^{-1/8}. Fica a dica: sempre cote pontos críticos internos e extremos do intervalo — esse é o passo padrão para esse tipo de exercício. Vai dar certo na prova, respira!

Resposta

Máximo absoluto: f(2)=2e^{-1/2} em x=2.
Mínimo absoluto: f(-1)=-e^{-1/8} em x=-1.

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