Find the absolute maximum and absolute minimum values of f on the given interval.
f(x)=\ln \left(x^{2}+x+1\right), \quad[-1,1]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores máximo absoluto e mínimo absoluto da função f no intervalo fechado [-1,1].
Informações dadas:
f(x)=\ln\bigl(x^{2}+x+1\bigr)
o intervalo considerado é [-1,1].
Perguntas claras: qual é o valor máximo absoluto de f em [-1,1] e em qual x ele ocorre? qual é o valor mínimo absoluto de f em [-1,1] e em qual x ele ocorre?

Passo 2

Por que procurar pontos críticos e avaliar os extremos do intervalo? Vou te explicar a teoria necessária, passo a passo e sem enrolação.
  1. Teorema do Valor Extremo (Muito útil): se uma função é contínua num intervalo fechado [a,b], então ela atinge um máximo absoluto e um mínimo absoluto nesse intervalo, em pelo menos um ponto. Aqui f é contínua porque x^{2}+x+1>0 para todo x (polinômio quadrático sem raízes reais), e o logaritmo natural é contínuo em argumentos positivos. Logo f é contínua em [-1,1] e tem máximos e mínimos absolutos.
  2. Busca de candidatos: Esses extremos só podem ocorrer
    • em pontos críticos interiores, isto é, pontos onde f'(x)=0 ou onde f' não existe (pontos de Fermat), ou
    • nos extremos do intervalo, x=-1 e x=1.
      Logo vamos achar f'(x), resolver f'(x)=0 e depois comparar os valores de f nesses pontos.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x). Use a regra da cadeia: se f(x)=\ln(g(x)), então
f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}.
Aqui g(x)=x^{2}+x+1. Então
g'(x)=2x+1.
Portanto
f'(x)=\frac{2x+1}{x^{2}+x+1}.
Explico: o numerador 2x+1 é a derivada do polinômio x^{2}+x+1; o denominador é o próprio polinômio, porque a derivada do logaritmo é 1 sobre a função interna multiplicada pela derivada da interna.

Passo 4

Encontrar pontos críticos interiores resolvendo f'(x)=0 e verificar se há pontos onde f' não existe.
  1. Zeros de f'(x): para uma fração \dfrac{2x+1}{x^{2}+x+1}=0 é necessário que o numerador seja zero (desde que o denominador não seja zero). Então resolvemos
2x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{1}{2}.
  1. Pontos onde f' não existe: isso ocorreria se o denominador fosse zero. Vamos checar x^{2}+x+1=0. O discriminante é
\Delta = 1^{2}-4\cdot1\cdot1 = 1-4 = -3 < 0,
logo não há raízes reais, o denominador nunca zera, portanto f' existe em todo \mathbb{R}. Assim o único ponto crítico interior em [-1,1] é x=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Avaliar f nos pontos candidatos: os pontos críticos interiores e os extremos do intervalo. Vou calcular f(-1),\,f(-\tfrac{1}{2}),\,f(1).
  1. Em x=-1:
x^{2}+x+1 = (-1)^{2}+(-1)+1 = 1-1+1=1,
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f(-1)=\ln(1)=0.
  1. Em x=1:
x^{2}+x+1 = 1^{2}+1+1 = 3,
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f(1)=\ln(3).
  1. Em x=-\tfrac{1}{2}:
x^{2}+x+1 = \left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2} + \left(-\tfrac{1}{2}\right) + 1 = \tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{2} + 1 = \tfrac{3}{4},
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f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\ln\!\left(\tfrac{3}{4}\right).
Para ficar claro: \ln\!\left(\tfrac{3}{4}\right) é negativo (porque \tfrac{3}{4}<1), \ln(1)=0 e \ln(3)>0.

Passo 6

Comparar os valores para decidir máximos e mínimos absolutos.
Temos os três valores:
f(-1)=0,\qquad f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\ln\!\left(\tfrac{3}{4}\right),\qquad f(1)=\ln(3).
Numericamente \ln\!\left(\tfrac{3}{4}\right)\approx -0{,}2877, \;0, \;\ln(3)\approx 1{,}0986. Portanto o menor é \ln\!\left(\tfrac{3}{4}\right) e o maior é \ln(3).
Se você quiser uma verificação extra (classificação do ponto crítico): podemos checar a segunda derivada para saber se x=-\tfrac{1}{2} é mínimo local. Calculando rapidamente f''(x) por regra do quociente:
f''(x)=\frac{2(x^{2}+x+1)-(2x+1)^{2}}{(x^{2}+x+1)^{2}}.
No numerador simplificando obtemos
2x^{2}+2x+2-(4x^{2}+4x+1) = -2x^{2}-2x+1.
Em x=-\tfrac{1}{2} esse numerador vale
-2\left(\tfrac{1}{4}\right)-2\left(-\tfrac{1}{2}\right)+1 = -\tfrac{1}{2} +1 +1 = \tfrac{3}{2} >0,
e o denominador é positivo, logo f''\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)>0, confirmando que x=-\tfrac{1}{2} é um mínimo local. Como é o menor entre os candidatos, é o mínimo absoluto no intervalo.

Passo 7

Conclusão: o valor mínimo absoluto ocorre em x=-\tfrac{1}{2} e o máximo absoluto ocorre em x=1. Os valores são \ln\!\left(\tfrac{3}{4}\right) e \ln(3), respectivamente.

Resposta

Valor mínimo absoluto: \ln\!\left(\tfrac{3}{4}\right) em x=-\tfrac{1}{2}
Valor máximo absoluto: \ln(3) em x=1

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