Find the absolute maximum and absolute minimum values of
on the given interval.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores máximo absoluto e mínimo absoluto da função
no intervalo fechado
.
Informações dadas:
o intervalo considerado é
.
Perguntas claras: qual é o valor máximo absoluto de
em
e em qual
ele ocorre? qual é o valor mínimo absoluto de
em
e em qual
ele ocorre?
Passo 2
Por que procurar pontos críticos e avaliar os extremos do intervalo? Vou te explicar a teoria necessária, passo a passo e sem enrolação.
-
Teorema do Valor Extremo (Muito útil): se uma função é contínua num intervalo fechado
, então ela atinge um máximo absoluto e um mínimo absoluto nesse intervalo, em pelo menos um ponto. Aqui é contínua porque para todo (polinômio quadrático sem raízes reais), e o logaritmo natural é contínuo em argumentos positivos. Logo é contínua em e tem máximos e mínimos absolutos. -
Busca de candidatos: Esses extremos só podem ocorrer
- em pontos críticos interiores, isto é, pontos onde
ou onde não existe (pontos de Fermat), ou - nos extremos do intervalo,
e .
Logo vamos achar, resolver e depois comparar os valores de nesses pontos.
- em pontos críticos interiores, isto é, pontos onde
Passo 3
Calcular a derivada
. Use a regra da cadeia: se
, então
Aqui
. Então
Portanto
Explico: o numerador
é a derivada do polinômio
; o denominador é o próprio polinômio, porque a derivada do logaritmo é 1 sobre a função interna multiplicada pela derivada da interna.
Passo 4
Encontrar pontos críticos interiores resolvendo
e verificar se há pontos onde
não existe.
- Zeros de
: para uma fração é necessário que o numerador seja zero (desde que o denominador não seja zero). Então resolvemos
- Pontos onde
não existe: isso ocorreria se o denominador fosse zero. Vamos checar . O discriminante é
logo não há raízes reais, o denominador nunca zera, portanto
existe em todo
. Assim o único ponto crítico interior em
é
.
Passo 5
Avaliar
nos pontos candidatos: os pontos críticos interiores e os extremos do intervalo. Vou calcular
.
- Em
:
logo
- Em
:
logo
- Em
:
logo
Para ficar claro:
é negativo (porque
),
e
.
Passo 6
Comparar os valores para decidir máximos e mínimos absolutos.
Temos os três valores:
Numericamente
,
,
. Portanto o menor é
e o maior é
.
Se você quiser uma verificação extra (classificação do ponto crítico): podemos checar a segunda derivada para saber se
é mínimo local. Calculando rapidamente
por regra do quociente:
No numerador simplificando obtemos
Em
esse numerador vale
e o denominador é positivo, logo
, confirmando que
é um mínimo local. Como é o menor entre os candidatos, é o mínimo absoluto no intervalo.
Passo 7
Conclusão: o valor mínimo absoluto ocorre em
e o máximo absoluto ocorre em
. Os valores são
e
, respectivamente.
Resposta
Valor mínimo absoluto:
em
Valor máximo absoluto: em
Valor máximo absoluto: